Random walks, equidistribution, and dense subgroups in Lie groups
Marches aléatoires, equirépartition, et sous-groupes denses dans les groupes de Lie
Résumé
Abstract: This dissertation consists of two relatively independent parts. The first part, more probabilistic in nature, deals with random walks on Lie groups and especially with equidistribution properties of random walks after a very large time. Chapter 2 is devoted to the study of equidistribution of finitely supported symmetric walks on nilpotent Lie groups. In Chapter 3, we prove a local limit theorem for product of random matrices on the Heisenberg group and a comparison theorem with the associated heat kernel. We then derive a probabilistic equivalent of Ratner's equidistribution theorem for unipotent random walks on homogeneous spaces. Chapter 4 is independent and entirely devoted to the local limit theorem on Rd with a study of the speed of convergence.
The second part, of a more algebraic flavor, deals with dense free subgroups of real and p-adic Lie groups. We show a topological version of Tits' alternative asserting that any subgroup of GL(n.k), where k is a local field, contains either a relatively open solvable subgroup, or a relatively dense free subgroup. We then provide several applications of this theorem to the theory of profinite groups, of amenable actions and of Riemannian foliations.
La thèse comprend deux parties relativement indépendantes. La première. plus probabiliste, traite des marches aléatoires sur les groupes de Lie et en particulier des problèmes d'équirépartition des marches aléatoires après un temps très long. Le chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équirépartition des marches symétriques à support fini dans les groupes de Lie nilpotents. Au chapitre 3, on démontre un théorème limite local pour les produits de matrices aléatoires sur le groupe de Heisenberg et un théorème de com-paraison ave le noyau de la chaleur associé. On en déduit un équivalent probabiliste du théorème d'équirépartition de Ratner pour les marches aléatoires unipotentes dans les espaces homogènes. Le chapitre 4 est indépendant et entièrement consacré au théorème limite local sur Rd et sa vitesse de convergence.
La deuxième partie, plus algébrique, traite des sous-groupes denses et libres des groupes de Lie réels et p-adiques. On démontre une version topologique de l'alterna-tive de Tits qui affirme que tout sous-groupe de GL(n, k), pour un corps local k, admet ou bien un sous-groupe résoluble relativement overt, ou bien un sous-groupe libre re-lativement dense. On illustre ensuite ce théorème par diverses applications aux théories des groupes profinis, des actions movennables et des feuilletages Riemanniens.
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