Mathematics from science of quantities to theory of forms. L'Ausdehnungslehre de H. Grassmann
Les mathématiques, de la science des quantités à la théorie des formes. L'Ausdehnungslehre de H. Grassmann
La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L'Ausdehnungslehre de H. Grassmann
Résumé
The first part analyzes the concept of magnitude in Euclid and compares it with the concept of the sixteenth century algebraists and with the first relational definitions of magnitudes, analyzing passages from the works of Wolff, d'Alembert, Euler, Gauss, Kant and Bolzano. The second part analyzes the contribution of Hermann Grassmann to the definition of mathematics and to the understanding of the concept of extensive magnitude. In analyzing the work of Hermann Grassmann, the thesis focuses on the concept of magnitude, or extensive form, by systematically comparing the two editions of the Ausdehnungslehre. The question is then discussed why only the first edition is completely consistent with Grassmann's philosophical project of basing the study of the properties of spatial extension independently of the properties of numbers. The comparison between the basic algebraic concept and the genetic origin of geometric objects, as well as the analysis of dimension in its relation to the theory of measurement, reveal, on the one hand, that there is a very close relationship between Grassmann's mathematical work and his philosophical conception, and on the other hand, that Grassmann's project is more general and richer than the simple establishment of the vector calculus. Indeed, this project leads to a foundation of the conception of abstract multidimensional space that is essentially genetic and dynamic.
La première partie analyse le concept de grandeur dans Euclide et le compare avec le concept des algébristes du seizième siècle et avec les premières définitions relationnelles des grandeurs, en analysant des passages des œuvres de Wolff, d'Alembert, Euler, Gauss, Kant et Bolzano. La deuxième partie analyse la contribution d'Hermann Grassmann à la définition des mathématiques et à la compréhension du concept de grandeur extensive. En analysant l'œuvre de Hermann Grassmann, la thèse se concentre sur le concept de grandeur, ou forme extensive, en comparant systématiquement les deux éditions de l'Ausdehnungslehre. La question est ensuite discutée de savoir pourquoi seule la première édition est complètement cohérente avec le projet philosophique de Grassmann de fonder l'étude des propriétés de l'extension spatiale indépendamment des propriétés des nombres. La comparaison entre le concept algébrique de base et l'origine génétique des objets géométriques, ainsi que l'analyse de la dimension dans son rapport avec la théorie de la mesure, révèlent, d'une part, qu'il existe une relation très étroite entre l'œuvre mathématique de Grassmann et sa conception philosophique, et d'autre part, que le projet de Grassmann est plus général et plus riche que le simple établissement du calcul vectoriel. En effet, ce projet conduit à fonder la conception d'un espace multidimensionnel abstrait qui est essentiellement génétique et dynamique.
La prima parte analizza il concetto di grandezza in Euclide e lo confronta con quello degli algebristi del XVI secolo e con le prime definizioni relazionali di grandezza, analizzando brani tratti dalle opere di Wolff, d'Alembert, Eulero, Gauss, Kant e Bolzano. La seconda parte analizza il contributo di Hermann Grassmann alla definizione della matematica e alla comprensione del concetto di grandezza estesa. Nell'analizzare il lavoro di Hermann Grassmann, la tesi si concentra sul concetto di grandezza, o forma estesa, confrontando sistematicamente le due edizioni della Ausdehnungslehre. Viene quindi discusso il motivo per cui solo la prima edizione è completamente coerente con il progetto filosofico di Grassmann di basare lo studio delle proprietà dell'estensione spaziale indipendentemente dalle proprietà dei numeri. Il confronto tra il concetto algebrico di base e l'origine genetica degli oggetti geometrici, così come l'analisi della dimensione nella sua relazione con la teoria della misura, rivelano, da un lato, che esiste una relazione molto stretta tra il lavoro matematico di Grassmann e la sua concezione filosofica e, dall'altro, che il progetto di Grassmann è più generale e più ricco della semplice creazione del calcolo vettoriale. Infatti, questo progetto porta a fondare una concezione dello spazio multidimensionale astratto che è essenzialmente genetica e dinamica.
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