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Thèse Année : 2022

Moduli spaces and algebraic cycles in real algebraic geometry

Espaces de modules et cycles algébriques en géométrie algébrique réelle

Résumé

This thesis intends to make a contribution to the theories of algebraic cycles and moduli spaces over the real numbers. In the study of the subvarieties of a projective algebraic variety, smooth over the field of real numbers, the cycle class map between the Chow ring and the equivariant cohomology ring plays an important role. The image of the cycle class map remains difficult to describe in general; we study this group in detail in the case of real abelian varieties. To do so, we construct integral Fourier transforms on Chow rings of abelian varieties over any field. They allow us to prove the integral Hodge conjecture for one-cycles on complex Jacobian varieties, and the real integral Hodge conjecture modulo torsion for real abelian threefolds. For the theory of real algebraic cycles, and for several other purposes in real algebraic geometry, it is useful to have moduli spaces of real varieties to our disposal. Insight in the topology of a real moduli space provides insight in the geometry of a real variety that defines a point in it, and the other way around. In the moduli space of real abelian varieties, as well as in the Torelli locus contained in it, we prove density of the set of moduli points attached to abelian varieties containing an abelian subvariety of fixed dimension. Moreover, we provide the moduli space of stable real binary quintics with a hyperbolic orbifold structure, compatible with the period map on the locus of smooth quintics. This identifies the moduli space of stable real binary quintics with a non-arithmetic ball quotient.
À travers ce manuscrit, nous souhaitons apporter une contribution aux théories des cycles algébriques et des espaces de modules sur les nombres réels. Dans l'étude des sous-variétés d'une variété algébrique projective lisse sur le corps des nombres réels, l’application classe de cycle entre l'anneau de Chow et l'anneau de cohomologie équivariante joue un rôle important. L'image de l’application classe de cycle reste difficile à décrire en général ; nous étudions ce groupe en détail dans le cas des variétés abéliennes réelles. Pour ce faire, nous construisons des transformations de Fourier entières sur les anneaux de Chow des variétés abéliennes sur un corps quelconque. Elles nous permettent de prouver la conjecture de Hodge entière pour les courbes dans le cas des variétés jacobiennes complexes, ainsi que la conjecture de Hodge entière réelle modulo torsion pour les solides abéliens réels. Pour l'étude des cycles algébriques réels, de même que pour plusieurs autres questions en géométrie algébrique réelle, il est utile de disposer d'espaces de modules de variétés réelles. La connaissance de la topologie d'un espace de modules réel permet de comprendre la géométrie d'une variété réelle qui définit un point dans cet espace et inversement. Dans l'espace de modules des variétés abéliennes réelles, ainsi que dans le lieu de Torelli qu'il contient, nous prouvons la densité de l'ensemble des points attachés aux variétés abéliennes contenant une sous-variété abélienne de dimension fixe. De plus, nous munissons l'espace de modules des quintiques binaires réelles stables d'une structure d'orbifold hyperbolique, compatible \`a l’application des périodes sur le lieu des quintiques binaires lisses. Cette structure identifie l'espace de modules des quintiques binaires réelles stables avec un quotient non arithmétique de la boule réelle.

Dates et versions

tel-04003082 , version 1 (23-02-2023)

Identifiants

Citer

Olivier de Gaay Fortman. Moduli spaces and algebraic cycles in real algebraic geometry. Algebraic Geometry [math.AG]. Université PSL, 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04003082⟩
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