Incompressible limit and well-posedness of PDE models of tissue growth
Limite incompressible et caractère bien posé de modèles EDP pour la croissance tumorale
Résumé
Both compressible and incompressible porous medium models have been used in the literature to describe the mechanical aspects of living tissues, and in particular of tumor growth. Using a stiff pressure law, it is possible to build a link between these two different representations. In the incompressible limit, compressible models generate free boundary problems of Hele-Shaw type where saturation holds in the moving domain. Our work aims at investigating the stiff pressure limit of reaction-advection-porous medium equations motivated by tumor development. Our first study concerns the analysis and numerical simulation of a model including the effect of nutrients. Then, a coupled system of equations describes the cell density and the nutrient concentration. For this reason, the derivation of the pressure equation in the stiff limit was an open problem for which the strong compactness of the pressure gradient is needed. To establish it, we use two new ideas: an L3-version of the celebrated Aronson-Bénilan estimate, also recently applied to related problems, and a sharp uniform L4-bound on the pressure gradient. We further investigate the sharpness of this bound through a finite difference upwind scheme, which we prove to be stable and asymptotic preserving. Our second study is centered around porous medium equations including convective effects. We are able to extend the techniques developed for the nutrient case, hence finding the complementarity relation on the limit pressure. Moreover, we provide an estimate of the convergence rate at the incompressible limit. Finally, we study a multi-species system. In particular, we account for phenotypic heterogeneity, including a structured variable into the problem. In this case, a cross-(degenerate)-diffusion system describes the evolution of the phenotypic distributions. Adapting methods recently developed in the context of two-species systems, we prove existence of weak solutions and we pass to the incompressible limit. Furthermore, we prove new regularity results on the total pressure, which is related to the total density by a power law of state.
Les modèles de milieux poreux, en régime compressible ou incompressible, sont utilisés dans la littérature pour décrire les propriétés mécaniques des tissus vivants et en particulier de la croissance tumorale. Il est possible de construire un lien entre ces deux différentes représentations en utilisant une loi de pression raide. Dans la limite incompressible, les modèles compressibles conduisent à des problèmes de frontières libres de type Hele-Shaw. Nos travaux visent à étudier la limite de pression raide des équations de type milieu poreux motivées par le développement tumoral. Notre première étude concerne l’analyse et la simulation numérique d’un modèle incluant l’effet des nutriments. Ensuite, un système d’équations, dont le couplage est délicat, décrit la densité cellulaire et la concentration en nutriments. Pour cette raison, la dérivation de l’équation de pression dans la limite incompressible était un problème ouvert qui nécessite la compacité forte du gradient de pression. Pour l’établir, nous utilisons deux nouvelles idées : une version L3 de la célèbre estimation d’Aronson-Bénilan, également utilisée récemment pour des problèmes connexes, et une estimation L4 sur le gradient de pression (où l’exposant 4 est optimal). Nous étudions en outre l’optimalité de cette estimation par un schéma numérique upwind aux différences finies, que nous montrons être stable et asymptotic preserving. Notre deuxième étude est centrée sur l’équation de milieux poreux avec effets convectifs. Nous étendons les techniques développées pour le cas avec nutriments, trouvant ainsi la relation de complémentarité sur la pression limite. De plus, nous fournissons une estimation du taux de convergence à la limite incompressible. Enfin, nous étudions un système multi-espèces. En particulier, en tenant compte de l’hétérogénéité phénotypique, nous incluons une variable structurée dans le problème. Par conséquent, un système de diffusion croisée et dégénérée décrit l’évolution des distributions phénotypiques. En adaptant des méthodes récemment développées pour des systèmes à deux équations, nous prouvons l’existence de solutions faibles et nous passons à la limite incompressible. En outre, nous prouvons de nouveaux résultats de régularité sur la pression totale, qui est liée à la densité totale par une loi de puissance.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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