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Theses Year : 2020

Controllability in finite and infinite dimension and applications to bio-inspired nonlinear systems

Contrôlabilité en dimension finie et infinie et applications à des systèmes non linéaires issus du vivant

Abstract

This thesis deals with mathematical aspects of controllability of micro-swimming robots and of motility of micro-filaments, with ramifications in control theory and modeling. The first part presents our control theory results. On the one hand, we state a necessary condition of local controllability for a particular class of systems with two controls, based on the study of the Chen-Fliess series associated to these systems. On the other hand, we establish controllability for linear coupled parabolic systems of partial differential equations with nonnegative state constraint. We show that it is possible to control these systems while making sure that the state remains approximately nonnegative when the diffusion matrix is diagonalizable, and that it remains nonnegative in the particular case where it is equal to the identity matrix.The second part addresses applications to micro-swimming, and illustrates the results of the first part. More precisely, we study planar magnetic micro-swimmer robots made of two or three segments, connected by elastic joints, and controlled by a magnetic field. We show that these robots are not controllable in general around their equilibrium position, and describe explicitly the cases for which local controllability can be obtained. The results are illustrated by numerical simulations.In the third part are featured works of modeling and numerical simulation around elastic micro-filaments motility at low Reynolds number. We describe an efficient, robust and versatile N-link model. We numerically validate it by comparing it to another model, and use it to conduct a numerical study of filament buckling.
Cette thèse traite des aspects mathématiques de la contrôlabilité de micro-robots nageurs et de la mobilité de micro-filaments, avec des ramifications en théorie du contrôle et en modélisation. La première partie présente les résultats de théorie du contrôle obtenus. On énonce d'une part une condition nécessaire de contrôlabilité locale pour une classe particulière de systèmes à deux contrôles en dimension finie, grâce à l'étude de la série de Chen-Fliess associée à ces systèmes. D'autre part, on établit la contrôlabilité avec contrainte de positivité sur l'état pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires paraboliques couplées. On démontre qu'il est possible de contrôler ce type de systèmes en conservant l'état approximativement positif lorsque la matrice de diffusion est diagonalisable, et en conservant l'état positif dans le cas particulier ou celle-ci est égale à la matrice identité.La deuxième partie aborde les applications au domaine de la micro-natation, et constitue une illustration des résultats de la première partie. On s'intéresse plus précisément à des robots nageurs magnétiques planaires constitués de deux et trois segments, reliés entre eux par des liaisons élastiques, et contrôlés par un champ magnétique. On démontre que ces robots ne sont en général pas contrôlables au voisinage de leur équilibre pour lequel les segments sont alignés, et on explicite les cas particuliers dans lesquels on peut obtenir la contrôlabilité. Les résultats sont appuyés par des simulations numériques.Dans la troisième partie, on présente des travaux de modélisation et de simulation numérique autour du mouvement de micro-filaments élastiques à bas nombre de Reynolds. On décrit un modèle à N segments performant, robuste et polyvalent. On le valide en comparaison à un autre modèle, puis on l'utilise pour réaliser une étude numérique du phénomène de buckling (flambage) d'un filament.
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tel-03106682 , version 1 (12-01-2021)
tel-03106682 , version 2 (08-02-2021)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03106682 , version 2

Cite

Clément Moreau. Controllability in finite and infinite dimension and applications to bio-inspired nonlinear systems. Optimization and Control [math.OC]. Université Côte d'Azur, 2020. English. ⟨NNT : 2020COAZ4020⟩. ⟨tel-03106682v2⟩
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