A type theoretic approach to weak w-categories and related higher structures
Catégories faibles et structures supérieures afférentes en théorie des types
Résumé
We study a type theoretic definition of weak omega-categories originally introduced by Finster and Mimram, inspired both from ideas coming from homotopy type theory and from a definition of weak omega-category due to Grothendieck and Maltsiniotis. The advantages of such an approach are multiple: The language of type theory allows for a definition restricted to only a few rules, it also provides an explicit syntax on which one can perform inductive reasoning, and gives an algorithm for implementing a proof-assistant dedicated to exploring weak omega-categories. The work we present about this type theory is organized along two main axes: We investigate the theoretical grounds for this definition and relate it to an other known definition of weak omega-categories, and we present the proof-assistant based on this theory together with practical considerations to improve its use. We also consider a generalization of this approach to other related higher structures.We start with an introduction to the language of dependent type theory that we rely on to introduce our definitions, presenting both the syntax and the semantics that we study by means of categorical tools. We then present weak omega-categories and a type theory that defines them. We detail the categorical semantics of this theory and our main contribution in this direction establishes an equivalence between its models and the prior definition of weak omega-categories due to Grothendieck and Maltsiniotis. This definition has enabled us to implement a proof-assistant capable of checking whether a given morphism is well-defined in the theory of weak omega-category, and we present this implementation together with a few examples demonstrating both the capabilities of such a tool, and its tediousness in the vanilla version. To improve this issue, we present two main additional features allowing to partially automating its use: The suspension and the functorialization. These two operations are defined by similar techniques of induction on the syntax of the type theory. We then generalize this definition of weak omega-categories and present a type theoretic framework that is both modular enough to allow for defining higher structures, and constrained enough to precisely understand its semantics. This enables us to sketch a connection with the theory of monads with arities. Using this framework, we introduce and study two other definitions of higher structures: Monoidal weak omega-categories and cubical weak omega-categories. By using syntactic reasoning we are able to defines translations back and forth between the type theory defining weak omega-categories and the one describing monoidal weak omega-categories. One of our main result is to show that these translations imply an equivalence at the level of models: It shows that the monoidal omega-categories are equivalent to the omega-categories with a single object thus justifying the correctness of the appellation monoidal. We then give an alternate presentation of the type theory defining monoidal weak omega-categories, which diverges from our framework but is more standalone, and prove it to be equivalent to the previous presentation. We finally introduce in our framework a definition of cubical weak omega-categories and study its semantics, our main result along these lines is to characterize the models of this type theory and extract a mathematical definition equivalent to them.
Nous présentons une définition des omega-catégories faibles formulée en théorie des types proposée initialement par Finster et Mimram, suivant des idées provenant à la fois de la théorie homotopique des types et d’une définition des omega-catégories faibles due à Grothendieck et Maltsiniotis. Les avantages d’une telle approche sont multiples : Le langage de la théorie des types permet une définition qui se réduit à quelques règles seulement, et il fournit une syntaxe explicite sur laquelle il est possible de raisonner par induction. Cela donne également un algorithme pour implémenter un assistant de preuve dédié à l’exploration des omega-catégories faibles. Le travail que nous présentons est organisé selon deux axes principaux : Nous étudions les fondements théoriques de cette définition et la relions aux autres définitions connues de omega-catégories faibles, et nous présentons l’assistant de preuve basé sur cette théorie avec des considérations pour rendre cet outil plus utilisable en pratique. Nous considérons également des généralisations de cette approche à d’autres structures supérieures similaires.Nous commençons par présenter une introduction à la théorie des types dépendants sur laquelle repose les définitions que nous étudions, en introduisant à la fois une syntaxe et sa sémantique catégorique. Nous présentons ensuite les omega-catégories faibles avec une théorie des types pour les définir. Nous détaillons la sémantique catégorique de cette théorie et notre contribution principale dans cette direction établit une équivalence entre les modèles de cette théorie et la définition antérieure des omega-catégories faibles due à Grothendieck et Maltsiniotis. Cette définition nous a permis d’implémenter un assistant de preuves capable de vérifier si un morphisme donné est correctement défini dans la théorie des omega-catégories faibles; nous présentons cette implémentation accompagnée de quelques exemples illustrant à la fois les possibilités de l’outil, et l’impraticabilité de son utilisation dans sa version native. Pour corriger ce problème, nous présentons deux fonctionnalités additionnelles permettant une automatisation partielle : La suspension et la fonctorialisation. Ces deux opérations sont définies par des techniques similaires, par induction sur la syntaxe de la théorie des types. Nous généralisons ensuite cette définition des omega-catégories faibles et présentons un cadre pour étudier des théories des types, qui est à la fois suffisamment modulaire pour permettre de définir d’autres structures supérieures, et suffisamment contraint pour étudier précisément sa sémantique. Cela nous permet d’esquisser une connexion avec la théorie des monades à arités. En se reposant sur ce cadre, nous introduisons et étudions deux autres définitions de structures supérieures : les omega-catégories faibles monoidales et les omega-catégories faibles cubiques. Par un raisonnement syntaxique, nous définissons des traductions dans les deux sens entre les théories des types qui définissent les omega-catégories faibles et les omega-catégories faibles monoidales. L’un de nos résultats principaux est de montrer que ces traductions induisent une équivalence au niveau des modèles, montrant que les omega-catégories faibles monoidales sont équivalentes aux omega-catégories qui ont un unique objet justifiant l’appellation de monoidal. Nous donnons ensuite une présentation alternative de la théorie des types pour définir les omega-catégories faibles monoidales, qui diverge de notre cadre, mais qui est plus indépendante, et la prouvons équivalente à la présentation précédente. Finalement nous introduisons dans notre cadre une définition de la théorie des omega-catégories faibles cubiques, et étudions sa sémantique. Notre résultat principal dans cette direction est la caractérisation des modèles de cette théorie des types, en extrayant une définition mathématique qui leur est équivalente.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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