Dynamique de concentration dans des équations aux dérivées partielles non locales issues de la biologie - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2018

Dynamique de concentration dans des équations aux dérivées partielles non locales issues de la biologie

Concentration dynamics in non local partial differential equations from biology

Résumé

This thesis focuses on the dynamics of Dirac mass concentrations in non-local partial differential and integro-differential equations motivated by evolutionary biology. We consider population models structured in phenotypical traits and, taking into account adaptation and mutation phenomena, we aim to describe the selection of the fittest traits in a given environment. The mathematical modeling of these biological problems leads to nonlinear and nonlocal equations, with a small parameter that induces two time-scales. The asymptotic solutions to these equations are population distributions on the traits space and concentrate in Dirac masses located on the dominant traits. In the first part, we study the Dirac mass dynamics in a chemostat model, using a Hamilton-Jacobi formulation. The chemostat model is a system of equations describing the dynamics of consumers and nutrients in a bioreactor. In a second part, we investigate a competition model structured in age and phenotypical traits. By means of an appropriate factorization, we obtain the asymptotic limit of the solution as a decomposition into two profiles, one in age, the other in traits. When mutations are introduced, a Hamilton-Jacobi equation arises and we prove a uniqueness result of the solution to this equation in the framework of viscosity solutions. The last part is devoted to sexual population models. These models under investigation include asymmetric trait heredity or asymmetric trait-dependent fecundity between the parents: each individual inherits mostly its traits from the female.
Cette thèse porte sur l'étude des dynamiques de masses de Dirac dans des équations aux dérivées partielles et intégro-différentielles issues de la biologie évolutive. Nous nous intéressons à des modèles de populations structurées en trait phénotypique en tenant compte des phénomènes d'adaptation et de mutations, afin de montrer la sélection d'individus les plus adaptés dans un environnement donné. La description de ces problèmes biologiques conduit à l'étude d'équations non linéaires et non locales, avec la présence d'un petit paramètre qui induit deux échelles de temps. Les solutions asymptotiques de ces équations sont des distributions de populations dans l'espace des traits et se concentrent en masses de Dirac en les traits dominants. Dans une première partie, nous nous intéressons à la dynamique des masses de Dirac dans un modèle de chémostat en utilisant une formulation Hamilton-Jacobi. Le modèle de chémostat est constitué d'un système d'équations décrivant la dynamique consommateurs-nutriment dans un système fermé. Dans une deuxième partie, nous étudions un modèle de compétition structuré en âge et en trait. Grâce à une factorisation adaptée, nous obtenons la limite asymptotique de la solution comme le produit d'un profil en âge et d'un profil en trait. Lorsque les mutations sont introduites, une équation d'Hamilton-Jacobi apparaît et nous démontrons un résultat d’unicité associé dans le cadre des solutions de viscosité. La dernière partie s'intéresse aux populations sexuées. Nous étudions une famille de modèles de populations sexuées présentant une asymétrie dans l'hérédité ou la fécondité : chaque individu hérite principalement des traits de la mère.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

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tel-02485006 , version 2 (19-02-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02485006 , version 2

Citer

Cécile Taing. Dynamique de concentration dans des équations aux dérivées partielles non locales issues de la biologie. Analysis of PDEs [math.AP]. Sorbonne Université; Inria Paris, 2018. English. ⟨NNT : 2018SORUS077⟩. ⟨tel-02485006v2⟩
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