Constant mean curvature surfaces in euclidean and hyperbolic spaces
Surfaces à courbure moyenne constante dans les espaces euclidien et hyperbolique
Abstract
Non-zero constant mean curvature surfaces are mathematical models for physical interface
problems with non-zero pressure difference. They are described by partial differential
equations and can be constructed from holomorphic data via a Weierstrass-type representation,
called "the DPW method". In this thesis, we use the DPW method and prove
two main results. The frst one states that perturbations of the DPW data for Delaunay
unduloidal ends generate embedded annuli. This can be used to prove the embeddedness
of surfaces constructed via the DPW method. The second result is the construction of
n-noids in Hyperbolic space: genus 0, embedded, constant mean curvature surfaces with n
Delaunay ends.
Les surfaces à courbure moyenne constante non-nulle apparaissent en physique comme
solutions à certains problèmes d'interface entre deux milieux de pressions différentes. Elles
sont décrites mathématiquement par des équations aux dérivées partielles et sont constructibles
à partir de données holomorphes via une représentation similaire à celle de Weierstrass
pour les surfaces minimales. On présente dans cette thèse deux résultats s'appuyant
sur cette représentation, dite méthode DPW. Le premier indique que les données donnant
naissance à un bout Delaunay de type onduloïde induisent encore un anneau plongé
après perturbation. Cette propriété sert notamment à démontrer que certaines surfaces
construites par la méthode DPW sont plongées. Le second résultat est la construction,
dans l'espace hyperbolique, de n-noïdes : surfaces plongées, de genre zéro, à courbure
moyenne constante et muni de n bouts de type Delaunay.
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