Analysis and numerical simulation by a combined Finite Volumes - Finite Elements method of low Mach type models
Analyse et simulation numérique par méthode combinée Volumes Finis - Éléments Finis de modèles de type Faible Mach
Résumé
In this thesis, we study some flows characterized by a low Mach number.
In a first part, we develop a numerical scheme allowing the resolution of the
Navier-Stokes equations in the low Mach number approximation. The continuity
equation is solved by a finite volume method, while the momentum and temperature
equations are solved by finite elements. The scheme ensures the preservation
of constant states. In a second part, we analyze a specific low Mach type model,
in which the thermodynamic pressure is considered constant, and the viscosity is
a particular function of the temperature. We show the existence, the uniqueness
and the regularity of the solutions, as well as a maximum principle result for the
temperature. Finally, in a third part, we develop a numerical scheme to simulate the
equations of this model. Emphasis is placed on the discretization of the temperature
equation, which is of finite volume type. Several schemes are studied and compared
on criteria of precision and respect of the maximum principle. The momentum
equation is discretized by finite elements, defining a new combined scheme.
Dans cette thèse, nous étudions des écoulements caractérisés par un faible
nombre de Mach. Dans une première partie, nous développons un schéma numérique
permettant la résolution des équations de Navier-Stokes à faible nombre de Mach.
L’équation de continuité est résolue par une méthode de volumes finis, tandis que
l’équation de conservation de la quantité de mouvement et l’équation d’évolution de
la température sont résolues par éléments finis. Le schéma ainsi développé assure la
préservation des états constants. Dans une seconde partie, nous faisons l’analyse d’un
modèle de type faible Mach spécifique, dans lequel la pression thermodynamique est
considérée constante, et la viscosité est une fonction particulière de la température.
Nous montrons l’existence, l’unicité et la régularité des solutions, ainsi qu’un résultat
de principe du maximum pour la température. Enfin dans une troisième partie,
nous développons un schéma numérique permettant de simuler les équations de ce
modèle. L’accent est mis sur la discrétisation de l’équation de température, qui est
de type volumes finis. Plusieurs schémas sont étudiés et comparés sur des critères
de précision et de respect du principe du maximum. L’équation de conservation de
la quantité de mouvement est discrétisée par éléments finis, définissant un nouveau
schéma combiné.
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