Microscopic derivation of degenerated diffusion phenomena
Description microscopique de phénomènes diffusifs dégénérés
Abstract
This manuscript reviews a large part of my research work since the end of my PhD thesis,
which has beenmostly directed towards the following demanding question: how can we derive
various types of nonlinear partial differential equations (PDEs), observed at our macroscopic
level, from the underlying microscopic particle systems via a suitably taken long time and large
space scaling limit. The mathematical challenge consists in proving convergence theorems
known as hydrodynamic limits, in order to recover the macroscopic PDEs given by physics.
Typical examples of micro/macro description problems are heat conduction, fluid flow inside
a physical medium or phase transitions in matter.
With my coauthors we have analyzed several mathematical models which aimed at: understanding
the microscopic features of anomalous diffusion; describing propagation effects
in multiphase media as well as randomly growing interfaces. Two classes of one-dimensional
models are mainly considered, they all have a stochastic component and follow at least one
conservation rule: (1) kinetically constrained lattice gases which are subject to dynamics restrictions
; (2) Hamiltonian systems of atoms perturbed by a stochastic noise.
Cette habilitation rassemble une grande partie de mon travail de recherche effectué depuis
la fin de mon doctorat. Mes recherches se sont principalement orientées vers la question
suivante : comment dériver mathématiquement des équations aux dérivées partielles nonlinéaires
variées, toutes observées à notre échelle macroscopique, à partir d’une description
microscopique des systèmes de particules qui composent notre milieu ? Ce problème exigeant
nécessite de mettre en oeuvre des limites d’échelle en temps long et en grand volume. Du
point de vue mathématique, le principal défi consiste à prouver des théorèmes de convergence
connus sous le nom de limites hydrodynamiques, qui permettent de valider les équations
macroscopiques données par la physique. Des exemples typiques de problèmes de description
micro/macro sont : la conduction de la chaleur, l’écoulement d’un fluide ou les transitions de
phase d’un milieu hétérogène.
Avec différents co-auteurs, nous avons analysé plusieurs modèles mathématiques dont les
buts sont multiples : comprendre les aspects microscopiques de la diffusion dite anormale ;
décrire les effets de propagation dans des milieux multiphasés, ainsi que les interfaces grandissant
de manière aléatoire. Deux familles de modèles unidimensionnels ont été privilégiées, ces
modèles ont tous une composante stochastique et suivent une ou plusieurs lois de conservation.
Ce sont (1) les gaz sur réseaux cinétiquement contraints, qui sont sujets à des restrictions
dynamiques ; (2) les systèmes d’atomes Hamiltoniens perturbés par un bruit stochastique.
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