Pseudoeffective cones in 2-Fano varieties and remarks on the Voisin map
Cônes pseudoeffectifs dans les variétés 2-Fano et remarques sur l'application de Voisin
Résumé
This thesis is divided in two parts. In the first part we study the 2-Fano varieties. The 2-Fano varieties, defined by De Jong and Starr, satisfy some higher dimensional analogous properties of Fano varieties. We propose a definition of (weak) k-Fano variety and conjecture the polyhedrality of the cone of pseudoeffective k-cycles for those varieties in analogy with the case k=1. Then, we calculate some Betti numbers of a large class of k-Fano varieties to prove some special case of the conjecture. In particular, the conjecture is true for all 2-Fano varieties of index > n-3, and also we complete the classification of weak 2-Fano varieties answering Questions 39 and 41 in Araujo and Castravet’s article.In the second part, we study a particular rational map. Beauville and Donagi proved that the variety of lines F(Y) of a smooth cubic fourfold Y is a hyperKähler variety. Recently, C. Lehn, M.Lehn, Sorger and van Straten proved that one can naturally associate a hyperKähler variety Z(Y) to the variety of twisted cubics on Y. Then, Voisin defined a degree 6 rational map between the direct product F(Y)xF(Y) and Z(Y). We will show that the indeterminacy locus of this map is the locus of intersecting lines.
Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie nous étudions les variétés 2-Fano. Les variétés 2-Fano, définies par De Jong et Starr, satisfont des generalisations de certaines propriétés des varietes Fano. Nous proposons une définition de variété k-Fano (faible) et conjecturons la polyhédralité du cône de k-cycles pseudo-effectives pour ces variétés en analogie avec le cas k=1. Ensuite, nous calculons quelques nombres de Betti d'une grande classe de variétés k-Fano pour prouver un cas particulier de la conjecture. En particulier, la conjecture est vraie pour toutes les variétés 2-Fano d'indice >n-3, et nous complétons également la classification des variétés faibles 2-Fano répondant aux questions 39 et 41 dans l'article d'Araujo et Castravet.Dans la deuxième partie, nous étudions une application rationnelle particulière. Beauville et Donagi ont prouvé que la variété des droites F(Y) d'une hypersurface lisse, cubique Y de dimension quatre est une variété hyperKähler. Récemment, C. Lehn, M. Lehn, Sorger et van Straten ont prouvé qu'on peut naturellement associer une variété hyperKähler Z(Y) à la variété compacte des cubiques rationnelles dans Y. Puis, Voisin a défini une application rationnelle de degré 6 entre le produit direct F(Y)xF(Y) et Z(Y). Nous montrerons que le lieu d'indétermination de cette application est le lieu des droites concourantes dans Y.
Questa tesi è divisa in due parti. Nella prima parte studiamo le varietà 2-Fano. Le varietà 2-Fano, definite da De Jong e Starr, soddisfano alcune proprietà analoghe (in dimensionie superiore) alle varietà Fano. Diamo una definizione di varietà k-Fano (debole) e congetturiamo la poliedricità del cono di k-cicli pseudoeffettivi per tali varietà, in analogia al caso k=1. Quindi calcoliamo alcuni numeri Betti di molte varietà k-Fano, per dimostrare alcuni casi particolari della congettura. In particolare, la congettura è vera per tutte le varietà 2-Fano d'indice >n-3, e inoltre completiamo la classificazione delle varietà 2-Fano deboli rispondendo alle domande 39 e 41 nell'articolo di Araujo e Castravet. Nella seconda parte studiamo una particolare mappa razionale. Beauville e Donagi hanno dimostrato che la varietà delle rette F(Y) di una ipersuperfice cubica liscia Y di dimensione 4 è una varietà hyperKähler. Recentemente, C. Lehn, M.Lehn, Sorger e van Straten hanno dimostrato che è possibile associare in modo naturale una varietà hyperKähler Z(Y) alla varietà delle cubiche razionali in Y. Successivamente, Voisin ha definito una mappa razionale di grado 6 tra il prodotto diretto F(Y)xF(Y) e Z(Y). Mostreremo che il luogo di indeterminazione di questa mappa è il luogo delle rette secanti.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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