Semiclassical analysis of the Schrödinger equation with singular potentials
Analyse semiclassique de l'équation de Schrödinger à potentiels singuiers
Résumé
In the first part of this thesis we study the propagation of Wigner measures linked to
solutions of the Schrödinger equation with potentials presenting conical singularities and
show that they are transported by two different Hamiltonian flows, one over the bundle
cotangent to the singular set and the other elsewhere in the phase space, up to a transference
phenomenon between these two regimes that may arise whenever trajectories in the outsider
flow lead in or out the bundle. We describe in detail either the flow and the mass concentra-
tion around and on the singular set and illustrate with examples some issues raised by the
lack of unicity for the classical trajectories on the singularities despite the unicity for quan-
tum solutions, dismissing any classical selection principle, but in some cases being able to
fully solve the problem.
In the second part we present a work in collaboration with Dr. Clotilde Fermanian and
Dr. Fabricio Macià where we analyse a Schrödinger-like equation pertinent to the semiclas-
sical study of the dynamics of an electron in a crystal with impurities, showing that in the
limit where the characteristic length of the crystal’s lattice can be considered sufficiently
small with respect to the variation of the exterior potential modelling the impurities, then
this equation is approximated by an effective mass equation, or, more generally, that its so-
lution decomposes in terms of Bloch modes, all of them satisfying effective mass equations
specifically assigned to their Bloch energies.
Dans la première partie de cette thèse nous étudions la propagation des mesures de
Wigner associées aux solutions de l’équation de Schrödinger à potentiels présentant des
singularités coniques, et nous montrons qu’elles sont transportées par deux différents flots
Hamiltoniens, l’un sur le fibré cotangent à la variété des singularités et l’autre ailleurs
dans l’espace des phases, à moins d’un phénomène d’échange entre ces deux régimes qui
peut se produire quand des trajectoires du flot extérieur atteignent le fibré cotangent. Nous
décrivons en détail et le flot et la concentration de masse autour et sur la variété singulière, et
illustrons avec des exemples quelques questions issues de la faute d’unicité des trajectoires
classiques sur les singularités en dépit de l’unicité des solutions quantiques, ce qui refute
tout principe de sélection classique, mais qui n’empêche dans certains cas de résoudre com-
plètement le problème.
Dans la deuxième partie nous présentons un travail mené en collaboration avec Dr.
Clotilde Fermanian et Dr. Fabricio Macià où nous analysons une équation de type Schrödin-
ger pertinente à l’étude semiclassique de la dynamique d’un électron dans un cristal avec
impuretés et montrons que, dans la limite où la période caractérisique du réseau cristallin
est sufisamment petite par rapport à la variation du potentiel extérieur représentant les im-
puretés, cette équation peut être approximée par une équation de masse effective, ou, plus
généralement, que sa solution se décompose en modes de Bloch et que chacun d’eux satis-
fait une équation de masse effective spécifique à son énergie de Bloch.