Open periodic waveguides. Theory and computation.
Guides d'ondes ouverts : théorie et calculs numériques.
Résumé
The present work deals with propagation of acoustic waves in periodic media. These media have particularly interesting properties since the spectrum associated with the underlying wave operator in such media has a band-gap structure: there exist intervals of frequences for which monochromatic waves do not propagate. Moreover, by introducing linear defects in this kind of media, one can create guided modes inside the bands of forbidden frequences. In this work we show that it is possible to create such guided modes in the case of particular periodic media of grid type: more precisely, the periodic domain in question is R2 minus an infinite set of rectangular obstacles periodically spaced in two orthogonal directions (the distance between two neighbour obstacles being ε), which is locally perturbed by diminishing the distance between two columns of obstacles. The results are extended to the 3D case.
This work has a theoretical and a numerical aspect. From the theoretical point of view the analysis is based on the fact that, ε being small, the spectrum of the operator associated with our problem is "close" to the spectrum of a problem posed on a graph which is a geometric limit of the domain as ε tends to 0. However, for the limit graph the spectrum can be computed explicitly. Then, we study the spectrum of the non-limit operator using asymptotic analysis. Theoretical results are illustrated by numerical computations obtained with a numerical method developed for study of periodic media: this method is based on the reduction of the initial (linear) eigenvalue problem posed in an unbounded domain to a non-linear problem posed in a bounded domain (using the exact Dirichlet- to-Neumann operator).
Cette thèse porte sur la propagation des ondes acoustiques dans des milieux périodiques. Ces milieux ont des propriétés remarquables car le spectre associée à l’opérateur d’ondes dans ces milieux a une structure de bandes : il existe des plages de fréquences dans lesquelles les ondes monochromatiques ne se propagent pas. Plus intéressant encore, en introduisant des défauts linéiques dans ce type de milieux, on peut créer des modes guidés à l’intérieur de ces bandes de fréquences interdites. Dans ce manuscrit nous montrons qu’il est possible de créer de tels modes guidés dans le cas de milieux périodiques particuliers de type quadrillage : plus précisément, le domaine périodique considéré est constitué du plan R2 privé d’un ensemble infini d’obstacles rectangulaires régulièrement espacés (d’une distance ε) dans deux directions orthogonales du plan, que l’on perturbe localement en diminuant la distance entre deux colonnes d’obstacles. Les résultats sont ensuite étendus au cas 3D.
Ce travail comporte un aspect théorique et un aspect numérique. Du point de vue théo- rique l’analyse repose sur le fait que, comme ε est petit, le spectre de l’opérateur associé à notre problème est "proche" du spectre d’un problème posé sur le graphe obtenu comme la limite géométrique du domaine quand ε tend vers 0. Or, pour le graphe limite, il est possible de calculer explicitement le spectre. Ensuite, en utilisant des méthodes d’analyse asymptotique on étudie le spectre de l’opérateur non-limite. On illustre les résultats théo- riques par des résultats numériques obtenus à l’aide d’une méthode numérique spéciale- ment dédiée aux milieux périodiques : cette dernière est basée sur la réduction du problème de valeurs propres initial (linéaire) posé dans un domaine non-borné à un problème non- linéaire posé dans un domaine borné (en utilisant l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann exact).