Problèmes d’évolution associés au p-laplacien: comportement asymptotique et non existence - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Evolutionsprobleme für den p-Laplace Operator: asymptotisches Verhalten und Nichtexistenz

Problèmes d’évolution associés au p-laplacien: comportement asymptotique et non existence

Résumé

This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the p-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t o+infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval. In this chapter, we prove that for every $1 < p ≤ 2$ and for every continuous function f mapping from $[0, 1] × R$ to $R$, which is Lipschitz continuous in the second variable, uniformly with respect to the first one, each bounded solution of the one-dimensional heat equation $u_{t} −{|u_{x}|^{p−2}u_{x}}_{x} + f(x,u) = 0$ in $(0,1)×(0,+infty)$ equipped with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges as $t o+infty$ to a stationary solution. The proof follows an idea of H. Matano [61] which, in particular, is based on a comparison principle. Thus, one key step is to prove a comparison principle on non-cylindrical open sets, for Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions, which may be of independent interest. The results of Chapter 2 are contained in article [46], which was published in the journal Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea. Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of equation [ u_{t} −K_{p}u = lambda p |u|^{p−2}uqquad ext{ in $Omega×(0,T)$.} ] Thereby, we assume that $1 < p < +infty$, $Omega$ is a domain of $R^d$ containing $x = 0$ if $dge 2$ and $Omega = (0, +infty)$ if d = 1. Here, $K_{p}$ denotes the p-Kolmogorov operator defined by [ K_{p}u = Delta_{p}u + langle | abla u|^{p−2} abla u, abla ho/ ho angleqquad ext{ for all $u in W^{1,p}(Omega)$,} ] where $ hoρ > 0$ is a smooth function. The proof follows an idea of X. Cabré and Y. Martel [16], which is based on a Hardy inequality and on the optimality of the Hardy constant. Thus, it is our first task to establish a new weighted Hardy inequality Furthermore, we give a sufficient condition, when the constant in this Hardy inequality is optimal. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article [47], which was accepted for publication in the journal Archiv der Mathematik. The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude de deux sujets concernant les problèmes d’évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l’étude du comportement asymptotique des solu- tions bornées lorsque le temps $t o+infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l’étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxieme chapitre porte sur l’étude de la convergence, lorsque $t o+infty$, des solu- tions bornées d’une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l’objet d’un article [46] accepté pour publication dans Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea. Le dernier chapitre concerne l’étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article [47] accepté pour publication dans le journal Archiv der Mathematik. La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail [34] de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi. Ce résultat n’est pas encore publié.
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Dates et versions

tel-01331203 , version 1 (13-06-2016)

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  • HAL Id : tel-01331203 , version 1

Citer

Daniel Hauer. Problèmes d’évolution associés au p-laplacien: comportement asymptotique et non existence. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Soutenance, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01331203⟩
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