Contributions à la caractérisation et à l'étude des propriétés statistiques de familles de lois de probabilité
Résumé
La recherche décrite dans ce travail relève de la théorie des probabilités, mais aussi de la statistique mathématique. Le fil conducteur de ces travaux est la caractérisation de (familles de) lois de probabilité. Les caractérisations de lois sont importantes, non seulement en théorie des probabilités et en statistique théorique où elles occasionnent la résolution de problèmes mathématiques souvent très beaux, mais aussi en statistique appliquée car ces caractérisations permettent bien souvent de développer des outils performants, soit dans le but d'estimer des paramètres à partir de l'observation d'un échantillon, soit dans la construction de tests statistiques. Les travaux relatés dans ce mémoire peuvent être scindés en trois parties.
Une première partie, concernant les travaux les plus anciens, porte sur deux thèmes: les familles exponentielles naturelles (FEN) et les probabilités dites de Lancaster.
La deuxième partie et la troisième partie concernent des travaux plus récents. La deuxième comporte des résultats autour de la propriété dite de Matsumoto-Yor, originellement associée aux lois gaussiennes inverses généralisées (GIG), que nous étendons à d'autres familles de lois : lois de Kummer et lois bêta généralisées, établissant ainsi une nouvelle caractérisation de ces lois, sous des hypothèses de régularité.
Enfin, les travaux mentionnés dans la troisième partie portent sur une revue de la littérature concernant les caractérisations connues des lois GIG, assortie de deux nouvelles caractérisations.
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