Analyse harmonique sur les graphes et les groupes de Lie : fonctionnelles quadratiques, transformées de Riesz et espaces de Besov - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2015

Harmonic analysis on graphs and Lie groups: quadratic functionals, Riesz transforms and Besov spaces.

Analyse harmonique sur les graphes et les groupes de Lie : fonctionnelles quadratiques, transformées de Riesz et espaces de Besov

Joseph Feneuil
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Résumé

This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts. Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator. Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $p\in (1,2)$. We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$. Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$. These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.
Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie). Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov. Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $p \in (1,2)$. Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules.
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Dates et versions

tel-01260290 , version 1 (21-01-2016)

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  • HAL Id : tel-01260290 , version 1

Citer

Joseph Feneuil. Analyse harmonique sur les graphes et les groupes de Lie : fonctionnelles quadratiques, transformées de Riesz et espaces de Besov. Analyse classique [math.CA]. Université Grenoble Alpes, 2015. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01260290⟩
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