What alternatives for the teaching of algebraic calculus in second grade ?
Quelles alternatives pour l'enseignement du calcul algébrique au collège ?
Résumé
This thesis seeks to explore alternatives for the teaching and learning of algebraic calculus in second grade, and more specifically of the distributive property, as a fundamental law on which this teaching is based.
Drawing on prior researches on didactic of algebra, characteristics of the knowledge to be taught, the knowledge taught and learnt about algebraic calculus are analyzed towards protomathematics difficulties (Chevallard 1985) constantly arising in students’work. This leads to consider new forms of knowledge, along with mathematical knowledge, that would be linked to semantic and syntactic aspects of symbolic algebraic expressions.
Having defined algebraic calculus with the notion of movement transformation (Drouhard 1992) in a linguistic perspective, we explore the potential of formalizing, unifying, and generalizing (or FUG, Robert 1998) that would bring the distributive law in a larger study field both numerical and algebraic.
In this point of view, the study of a possible transposition of the knowledge to be taught and taught, based on textbooks (from primary to secondary school) and teachers’discourses analysis yields a set of conditions and constraints to elaborate a didactic design. The results from a first experiment in a 5th grade class (12-13 year-olds) are based on a priori and a posteriori analysis. They focus on the discourses built and used by the students, justifying and supporting their manipulations, along with the knowledge organizations arising out, creating a link between their ancient calculation practice, and the ones being built (numerical and algebraic).
The last chapter addresses a new didactic and epistemological study of the notion of substitution aiming at discussing its potential to extend the FUG point of view on the teaching of the distributive property, and further on to provide a new perspective of research to carry on with our didactic design for teaching algebraic calculus all along secondary school.
Cette thèse s’intéresse à l’élaboration d’alternatives pour enseigner le calcul algébrique au collège, et plus particulièrement la propriété de distributivité qui joue un rôle central dans cet enseignement.
En appui sur des recherches antérieures en didactique de l’algèbre, nous analysons les spécificités des savoirs à enseigner et enseignés sur le calcul algébrique, au regard de difficultés protomathématiques (Chevallard 1985) prégnantes du côté des élèves. Ceci nous conduit à appréhender de nouvelles formes de savoirs à enseigner, accompagnant les savoirs mathématiques, et liés aux aspects sémantiques et syntaxiques des écritures symboliques algébriques.
La notion de transformation de mouvement (Drouhard 1992) permet alors de définir le calcul algébrique d’un point de vue linguistique, et l’exploration des caractères formalisateur, unificateur et généralisateur (ou FUG, Robert 1998) nous amène à envisager la distributivité au regard d’un domaine d’étude plus large, à la fois numérique et algébrique. Dans cette perspective, l’étude d’une transposition possible des savoirs à enseigner et enseignés à partir d’analyses de manuels de la fin du primaire à la fin du collège, et de discours d’enseignants nous permet de dégager des conditions et des contraintes pour élaborer une ingénierie didactique. Les résultats d’une première expérimentation réalisée en classe de cinquième (élèves de 12-13 ans) sont issus d’analyses a priori et a posteriori. Ils concernent les discours dont les élèves parviennent à s’emparer, justifiant et soutenant leurs techniques de calcul algébrique, ainsi que les organisations des connaissances qui émergent, faisant le lien entre leurs pratiques calculatoires numériques anciennes et celles en construction à la fois numériques et algébriques.
A la fin de la thèse, nous amorçons une nouvelle étude didactique et épistémologique relative à la notion de substitution, afin de déterminer en quoi elle pourrait fonder un prolongement possible du point de vue Formalisateur, Unificateur et Généralisateur adopté sur l’enseignement de la distributivité dans cette thèse, et par suite, constituer une nouvelle perspective de recherche pour poursuivre l’élaboration d’une ingénierie didactique visant à enseigner le calcul algébrique tout au long du collège.