Combinatorics of the Tutte polynomial and planar maps
Combinatoire du polynôme de Tutte et des cartes planaires
Résumé
This thesis deals with the Tutte polynomial, studied from different points of view. In the first part, we address the enumeration of planar maps equipped with a spanning forest, here called forested maps, with a weight z per face and a weight u per non-root component of the forest. Equivalently, we count (with respect to the number of faces) the planar maps C weighted by TC(u + 1; 1), where TC is the Tutte polynomial of C.We begin by a purely combinatorial characterization of the corresponding generating function, denoted by F(z; u). We deduce from this that F(z; u) is differentially algebraic in z, that is, satisfies a polynomial differential equation in z. Finally, for u ≥ -1, we study the asymptotic behaviour of the nth coefficient of F(z; u).We observe a phase transition at 0, with a very unusual regime in n-3 ln-2(n) for u ϵ [-1; 0[, which testifiesa new universality class for planar maps. In the second part, we propose a framework unifying the notions of activity used in the literature to describe the Tutte polynomial. The new notion of activity thereby defined is called Δ-activity. It gathers all the notions of activities that were already known and has nice properties, as Crapo’s property that defines a partition of the lattice of the spanning subgraphs into intervals with respect to the activity. Lastly we conjecture that every activity that describes the Tutte polynomial and that satisfies Crapo’s property can be defined in terms of Δ-activity.
Cette thèse porte sur le polynôme de Tutte, étudié selon différents points de vue. Dans une première partie, nous nous intéressons à l’énumération des cartes planaires munies d’une forêt couvrante, ici appelées cartes forestières, avec un poids z par face et un poids u par composante non racine de la forêt. De manière équivalente, nous comptons selon le nombre de faces les cartes planaires C pondérées par TC(u + 1; 1), où TC désigne le polynôme de Tutte de C. Nous commençons par une caractérisation purement combinatoire de la série génératrice correspondante, notée F(z; u). Nous en déduisons que F(z; u) est différentiellement algébrique en z, c’est-à-dire que F satisfait une équation différentielle polynomiale selon z. Enfin, pour u ≥ -1, nous étudions le comportement asymptotique du n-ième coefficient de F(z; u). Nous observons une transition de phase en 0, avec notamment un régime très atypique en n-3 ln-2(n) pour u ϵ [-1; 0[, témoignant d’une nouvelle classe d’universalité pour les cartes planaires. Dans une seconde partie, nous proposons un cadre unificateur pour les différentes notions d’activités utilisées dans la littérature pour décrire le polynôme de Tutte.La nouvelle notion d’activité ainsi définie est appelée Δ-activité. Elle regroupe toutes les notions d’activité déjà connues et présente de belles propriétés, comme celle de Crapo qui définit une partition (adaptée à l’activité) du treillis des sous-graphes couvrants en intervalles. Nous conjecturons en dernier lieu que toute activité qui décrit le polynôme de Tutte et qui satisfait la propriété susmentionnée de Crapo peut être définie en termes de Δ-activités.
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