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Theses Year : 2014

Low Complexity Regularizations of Inverse Problems

Régularisations de Faible Complexité pour les Problèmes Inverses

Abstract

This thesis is concerned with recovery guarantees and sensitivity analysis of variational regularization for noisy linear inverse problems. This is cast as a convex optimization problem by combining a data fidelity and a regularizing functional promoting solutions conforming to some notion of low complexity related to their non-smoothness points. Our approach, based on partial smoothness, handles a variety of regularizers including analysis/structured sparsity, antisparsity and low-rank structure. We first give an analysis of the noise robustness guarantees, both in terms of the distance of the recovered solutions to the original object, as well as the stability of the promoted model space. We then turn to sensivity analysis of these optimization problems to observation perturbations. With random observations, we build unbiased estimator of the risk which provides a parameter selection scheme.
Cette thèse se consacre aux garanties de reconstruction et de l'analyse de sensibilité de régularisation variationnelle pour des problèmes inverses linéaires bruités. Il s'agit d'un problème d'optimisation convexe combinant un terme d'attache aux données et un terme de régularisation promouvant des solutions vivant dans un espace dit de faible complexité. Notre approche, basée sur la notion de fonctions partiellement lisses, permet l'étude d'une grande variété de régularisations comme par exemple la parcimonie de type analyse ou structurée, l'antiparcimonie et la structure de faible rang. Nous analysons tout d'abord la robustesse au bruit, à la fois en termes de distance entre les solutions et l'objet original, ainsi que la stabilité de l'espace modèle promu. Ensuite, nous étudions la stabilité de ces problèmes d'optimisation à des perturbations des observations. À partir d'observations aléatoires, nous construisons un estimateur non biaisé du risque afin d'obtenir un schéma de sélection de paramètre.
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Dates and versions

tel-01026398 , version 1 (21-07-2014)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01026398 , version 1

Cite

Samuel Vaiter. Low Complexity Regularizations of Inverse Problems. Information Theory [math.IT]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2014. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01026398⟩
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