Interprétation probabiliste de l'équation de Landau.
Résumé
The aim of this PhD Thesis is to give a probabilistic interpretation of the Landau equation, also called the Fokker-Planck-Landau equation. This partial derivatives equation has been derived from the Boltzmann equation when the grazing collisions prevail in a gas. It describes the behaviour of the density of particles having the same velocity at the same time (we assume here that the density is spatially homogeneous). This equation has been studied from now with analytic tools, we give here a new approach. In the first part of this thesis, we prove the existence of a probability measure solution of the Landau equation for some gas, called 'moderately soft' potential gas, using some stochastic tools. Moreover, for some particular gas, we prove the uniqueness of the solution, and we deduce the existence of a density solution of the Landau equation thanks to the Malliavin calculus. The probabilistic approach allows generel initial data, which can be degenerated as Dirac measures. The second part of this thesis gives a probabilistic interpretation of the convergence of the Boltzmann equation to the Landau equation in the asymptotic of grazing collisions. We first extend the existence results, in a probabilistic sense, of the Boltzmann equation to the case of 'moderately soft' potential gas. Then we state the convergence of these solutions to a solution of the Landau equation when grazing collisions prevail. At last, using the Malliavin calculus, we obtain the pointwise convergnece of the densities for a Maxwell gas. The probabilistic approach gives a good understanding of the convergence of Boltzmann to Landau and allows to model it with a particle system. Some simulations are given in this thesis.
Cette thèse porte sur une approche probabiliste de l'équation de Landau, aussi appelée équation de Fokker-Planck-Landau. Cette équation aux dérivées partielles a été obtenue comme limite asymptotique d'équations de Boltzmann lorsque les collisions rasantes deviennent prépondérantes dans un gaz. Elle décrit le comportement de la densité de particules ayant la même vitesses au même instant (on considère ici le ca s spatialement homogène). Cette équation a été jusqu'à maintenant étudiées par des méthodes d'analyse, ce travail propose une nouvelle approche. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'existence de solution de l'équation de Landau pour des gaz dit de 'potentiels modérément mous'. L'existence de mesures de probabilité solutions est obtenue par des outils du calcul stochastique. Pour des gaz plus particuliers, il y a en fait unicité de la solution et, grâce au calcul de Malliavin, on en déduit l'existence d'une densité solution de l'équation de Landau. L'approche probabiliste permet d'avoir des conditions initiales assez générales. La seconde partie de la thèse donne une interprétation probabiliste du lien entre les équations de Boltzmann et de Landau. Tout d'abord, les résultats d'existence de solutions au sens probabiliste de l'équation de Boltzmann sont étendus aux 'potentiels modérément mous'. Puis, on montre la convergence de ces solutions vers une solution de l'équation de Landau lorsque les collisions deviennent rasantes dans le gaz. Enfin, dans le cas particulier d'un gaz de Maxwell, la convergence ponctuelle des densités est obtenue en utilisant les techniques du calcul de Malliavin. L'approche probabiliste permet une meilleure compréhension du passage Boltzmann - Landau et permet de le simuler à l'aide d'un système de particules. Quelques simulations sont présentées dans cette thèse.