PEUT ON NATURALISER LE PLATONISME MATHEMATIQUE ?
Pascal Engel
(a)
le mathématicien saisit des vérités par intuition
il
n’y a pas d’algorithme faisable pour l’intuition mathématique
par
conséquent, l’intuition mathématique ne peut pas reposer sur un algorithme
Mais la conclusion ne suit pas. Du fait qu’il n’y ait
pas d’algorithme pour l’intuition mathématique, il ne s’ensuit pas que
l’intuition mathématique ne puisse pas reposer sur un algorithme.
En
particulier, la version suivante du même argument
(a’) le mathématicien peut comprendre
il n’y a pas d’algorithme faisable pour la compréhension
par conséquent ce que la sélection naturelle a
sélectionné, ce qui rend compte de la compréhension, n’est pas un algorithme.
(Dennett 1995 : 443)
Comme cet argument n’est pas meilleur que le
précédent : si la sélection naturelle est un algorithme, ce n’est pas un
algorithme reconnaissable par les esprits qu’elle crée.
Il reste
donc parfaitement possible, selon cette version de l’argument de Penrose, qu’il
y ait un algorithme responsable de la faculté spéciale que nous nommons
« intuition mathématique ».
Mais je
ne vais pas m’intéresser ici à cette version des arguments de Penrose. Ce que
je voudrais examiner plutôt, c’est l’idée, developpée par Penrose comme
corrélat de son argument anti-IA, selon lequel nous avons un accès aux entités
mathématiques à travers une faculté d’intuition, non algorithmique, mais
néammoins parfaitement naturelle, parce que la physique nécessaire pour
comprendre la conscience est l’esprit doit être une autre physique que celle
que les néo-mécanistes envisagent. Selon Penrose, on peut à la fois accepter
les deux thèses suivantes :
(C)
Les processus cérébraux
causent la conscience, mais aucun processus algorithmique ne peut simuler ces
processus
(P) Bien que l’univers platonicien ne se laisse pas
réduire à nos constructions mentales imparfaites, notre esprit y a toutefois
directement accès grâce à une « connaissance immédiate » des formes
mathématiques et à une capacité à raisonner sur ces formes.
et nier la thèse dualiste
(D) On ne peut
expliquer la connaissance immédiate à l’aide d’une connaissance scientifique,
quelle qu’elle soit
Selon Penrose, la conscience est un processus naturel,
explicable par une physique de l’esprit, mais il faut concevoir de manière
totalement différente la physique pour comprendre la base naturelle de
l’esprit.
En d’autres termes, le platonisme mathématique, la
thèse selon laquelle les entités mathématiques constituent un univers d’objets
abstraits indépendants de l’esprit et de tout univers physique, l’épistémologie selon laquelle nous avons
accès aux connaissances mathématiques par l’intermédiaire d’une forme
d’intuition, et le naturalisme physicaliste sont des thèses compatibles.
C’est
une combinaison intéressante, que l’on peut appeler « naturalisme platoniste »
ou « platonisme mathématique naturalisé », mais elle est, de prime
abord, incohérente. Pourquoi ?
Il
existe, dans la philosophie des mathématiques contemporaine, un argument bien
connu, en fait très classique, destiné à montrer que cette combinaison est,
sinon incohérente, du moins hautement problématique. Cet argument porte le nom
de « dilemme de Benacerraf ». On peut le formuler ainsi :
(DILEMME DE BENACERRAF)
(1)
Il y a des entités
mathématiques abstraites, indépendantes du langage, et sans localisation
spatio-temporelle ni contact causal avec l’esprit humain (P)
(2)
La connaissance se définit comme une forme de
contact causal avec les entités connues (TC)
(3)
Par conséquent il ne
peut y avoir de connaissance des entités abstraites des mathématiques
En d’autres termes, selon le dilemme de Benacerraf, il
n’est pas possible de réconcilier l’ontologie d’entités abstraites du
platonisme avec son épistémologie : le platoniste ne peut expliquer
comment cette connaissance est possible, et ne peut donner aucune réponse
évidente, sauf à recourir à une faculté mystérieuse d’intuition.
Si l’on
accepte la seconde prémisse de l’argument, la conclusion semble s’imposer :
si l’on veut réconcilier l’ontologie avec l’épistémologie, il faut renoncer à
la thèse ontologique platonicienne : les entités mathématiques ne sont pas
des entités abstraites. On peut le concevoir soit comme des formes de
constructions mentales, soit comme des entités physiques, de l’espèce des
symboles d’un langage, et épouser ainsi une forme de nominalisme.
Telle
est, semble-t-il, la position des chercheurs en neurosciences qui entendent
soutenir qu’il y a des bases neuronales et cérébrales de notre connaissance
mathématique. Ceux-ci admettent la seconde prémisse, et soutiennent que la
seule épistémologie correcte des mathématiques doit impliquer un rejet du
platonisme. Le dialogue entre Changeux et Connes (1989) illustre en fait le
dilemme de Benacerraf.
« Les
progrès rapides des sciences cognitives permettent d’envisager une alternative
avec sérieux : les mathématiques résulteraient, pour une grande part, de
la capacité de notre cerveau à « inventer » des règles et des
langages nouveaux, et explorer les conséquences logiques de ces règles. Les mathématiques devraient
alors être considérées comme une activité, en perpétuelle évolution, du cerveau
de l’homme, plutôt que comme un monde préétabli que les mathématiciens
explorateurs découvriraient progressivement »
(Changeux et Dehaene 1993)
Penrose
ne voit pas les choses ainsi, puisqu’il semble soutenir que les deux prémisses
peuvent être maintenues sans que la conclusion (3) s’ensuive. Il soutient que
la faculté d’intuition par laquelle on accède aux entités abstraites est une
connaissance naturelle, qu’une physique de l’esprit peut expliquer, même si
nous ne disposons pas encore de la physique appropriée et pouvons seulement en
indiquer la nature.
Mais
cette position avait, en un sens, était déjà défendue par Gödel, qui soutenait
que
« Les
ensembles peuvent être conçus comme des objets réels, existant indépendamment
de nos définitions et constructions. »
mais aussi que
« L’analogie
entre les mathématiques et la science naturelle compare les axiomes de la
logique et des mathématiques aux lois de la nature et l’évidence logique avec
la perception sensorielle ».
« Nous
avons quelque chose comme une perception également des objets de la théorie des
ensembles » (Gödel 1944)
Ou bien
cette perception est à rapprocher de la faculté mystérieuse d’intuition comme
contact non causal avec des entités abstraites, ou bien elle est, comme la
perception ordinaire, une capacité parfaitement naturelle et analysable comme
telle.
Je viens
de dire que Penrose suggère une position de ce type, c’est-à-dire une forme de
platonisme naturalisé. Mais ce n’est pas sa position que je veux examiner ici.
Une philosophe en fait, a défendu, en réponse au dilemme de Benacerraf, une
position de ce genre ; Penelope Maddy (1990). Comme c’est l’une des
versions les plus développées de platonisme naturaliste, il me semble
intéressant de l’examiner, et voir dans quelle mesure elle est tenable. Et je
vais soutenir que, au moins dans la version de Maddy, elle est très problématique.
1.
Connaissance
numérique et cognition
Pourquoi le platonisme naturalisé, malgré son
caractère bizarre, est-il une position attrayante ? Elle ne l’est pas
simplement parce qu’elle nous promet une réconciliation de l’épistémologie
mathématique avec la conception courante et officielle des mathématiciens en
ontologie, incarnée par Alain Connes,
qui penche toujours en faveur d’une forme de platonisme. Elle l’est
aussi parce les conceptions qui semblent le mieux respecter la prémisse (2) du
dilemme de Benacerraf ne sont, malgré les apparences, satisfaisantes ni sur le
plan épistémologique ni sur le plan ontologique.
Commençons par le plan ontologique. Un grand nombre de
travaux psychologie cognitive et de neurosciences établissent qu’un certain
nombre d’espèces animales, les primates supérieurs et les enfants humains, ont
une sensibilité aux nombres, et que cette sensitivité est basée dans les
structures d’organisation cérébrale. Les célèbres travaux de Karen Wynn (1992)
montrent les enfants de 5 mois sont
capables de calculer les résultats précis de d’additions et de soustractions
simples, et que « les symboles mentaux sur lesquels les animaux et les
enfants opèrent ont un structure qui leur permet d’abstraire de l’information
des relations numériques précises entre les numérosités » (1992 :
317), et donc qu’il y a une représentation innée des nombres. Bien sûr Wynn ne
suggère pas que toutes les mathématiques sont innées, ni que la notion d’infini
puisse résulter de ces mécanismes élémentaires, mais elle suggère que
« notre connaissance numérique initiale d’une façon quelconque
sert de base au développement des mathématiques », et que
« déterminer comment la transition à partir de cette base initiale
vers une connaissance plus abstraite pourrait être obtenue serait une
entreprise majeure » (ibid : 330). Elle en conclut qu’une conception
qui selon laquelle la connaissance mathématique est de nature essentiellement
empirique, comme celle que Mill défendait et que des auteurs contemporains comme
Kitcher (1984) ont renouvelée, pourrait bien, à partir de ces travaux, se
révéler correcte. De leur côté, Changeux et Dehaene (1993) ont soutenu qu’on
peut formuler des modèles neuronaux du développement numérique élémentaire, qui
« indiquent clairement que le concept de nombre possède une réalité
psychologique » et que le cerveau humain possède un ou plusieurs « organes numériques ».
Le
problème que posent ces conceptions, relativement à l’ontologie des nombres,
est qu’ils font appel à une notion de « capacité numérique » et de
« numérosité » qui ne nous garantit nullement que les comportement
indiquant la sensibilité à ces numérosités, ni les structures neuronales qui
les sous-tendent, peuvent compter comme une sensibilité aux nombres eux-mêmes. En
premier lieu si la connaissance des nombres est supposée acquise à partir de la
sensibilité à des numérosités physiques, il n’est pas clair que l’on ait
affaire réellement à une connaissance des nombres comme telle, et pas plutôt à une connaissance
d’agrégats physiques. Mais comme l’a montré Frege contre Mill, la notion
de nombre ne peut se réduire à celle d’agrégat. En second lieu, la
reconnaissance, dans les expériences de Wynn, de certains objets, tels que des
petits mickeys ou de poupées par les enfants, suppose la connaissance d’objets
distincts, et par conséquent quelque chose comme l’appareillage de la
quantification et de l’identité. Mais même s’il est légitime de leur attribuer
cet appareillage, il ne constitue pas encore une connaissance des nombres comme
tels. Entre le quantificateur « Il existe un x » et le quantificateur
numérique « il existe exactement n x », il y a un fossé, dont il n’est pas évident qu’il
soit franchit par l’enfant (Galloway 1992). Le concept même de
« numérosité » pose exactement ce problème : la numérosité
est-elle identique à la numéricité , ou à la connaissance de
nombres ?
Rien de
ceci évidemment n’implique que les nombres soient des objets, au sens où un
philosophe des mathématiques platonicien peut l’entendre. On peut parfaitement
soutenir que les nombres ne sont pas des objets, et qu’ils se réduisent à des
symboles et à des règles pour manipuler des symboles. Mais alors il faut
développer une alternative nominaliste au platonisme, peut être dans le style
de celle proposée par Field (1981, 1989). Mais le nominalisme lui-même est une
reconstruction théorique des nombres, et tant que cette reconstruction
théorique n’est pas établie comme concordant avec les structures cognitives et
cérébrales des symboles mentaux eux-mêmes, rien n’a été montré du passage des
numérosités aux nombres.
Passons
maintenant au plan épistémologique. Supposons que la difficulté ontologique ait
été résolue, dans le sens d’une conception platonicienne, d’une conception
nominaliste ou d’une conception constructiviste. De toute évidence, la
découverte de fondements neuronaux et cognitifs à notre connaissance
mathématique, soit dans un sens innéiste soit dans un sens empiriste, satisfait
à la seconde prémisse de Benacerraf, puisque ce fondement neuronal et cognitif
assurera le contact causal avec les objets appropriés, qu’ils soient des
symboles ou des structures cognitives.
Mais
pourquoi devrait-on exiger une telle condition causale sur la
connaissance ? Le platoniste ne peut-il pas répondre au dilemme de Benacerraf
en disant qu’elle n’est pas nécessaire ? Ici il faut faire un petit
excursus au sein de la théorie de la connaissance. La notion traditionnelle de
connaissance, celle qu’on trouve chez Platon lui-même implique que la
connaissance n’est pas seulement la croyance vraie, mais la croyance vraie justifiée.
Mais des exemples célèbres, proposés par Gettier (1963) montrent que cette
définition est insuffisante. Pierre entre dans la pièce, voit une pomme une
pomme sur la table. Il croit qu’il y a une pomme sur la table. Sa croyance est
vraie, car il y a bien une pomme sur la table. Elle est justifiée par les
données perceptuelles dont il dispose. Mais en fait la pomme qu’il voit n’est
pas celle qui est sur la table, mais une autre pomme, dont la perception lui est
induite par un jeu de miroirs disposés de manière à ce qu’il croie voir la
pomme, mais voit en fait seulement sa réflexion dans ces miroirs. Dans ce cas
la croyance de Pierre est vraie, justifiée, mais n’est pas une connaissance.
Les théoriciens de la connaissance soutiennent ici (Goldman 1986) que pour que
Pierre puisse avoir une connaissance authentique, il faut qu’il existe une
chaîne causale appropriée entre la pomme perçue par Pierre et son
appareil cognitif. Dans l’exemple en question, la chaîne causale n’est pas
appropriée. Mais quelles sont les conditions d’une chaîne causale
appropriée ? Comment s’assurer que dans des circonstances données nous
avons affaire à un cas de cognition normale, et non pas à un cas déviant,
susceptible d’induire des exemples de
ce type ? En d’autres termes pour qu’une croyance vraie P soit justifiée il faut que la condition suivante soit remplie :
(A*) il y a une connexion causale appropriée entre la
vérité de P et la croyance que P
Mais il ne peut être requis que (A*) soit vrai pour
que P soit justifié car cela impliquerait qu’aucune croyance fausse ne puisse
être justifiée. Or il y a clairement des croyances fausses qui le sont. Il ne
peut pas non plus être requis que (A*) soit connu de manière justifiée pour que
P soit connue de manière justifiée, car cela impliquerait une régression à
l’infini : il faudrait aussi qu’une proposition (A**) :
(A**) il est connu de manière justifiée (par une
chaîne causale appropriée) que (A*)
soit connue de
manière justifiée, et ainsi de suite. (C’est ce que l’on appelle un réquisit internaliste
quant à la justification. Mais comment est-ce possible ? Par exemple,
les anciens pouvait-ils être justifiés à croire des vérités astronomiques alors
même qu’ils soutenaient des croyances qui nous apparaissent aujourd’hui
bizarres sur la mécanique céleste ou même sur les causes des croyances
humaines ? Pour échapper à cette conséquence, les théoriciens de la nature
causale de la connaissance sont amenés à soutenir que la justification ne doit
pas dépendre du fait que l’on croit que les justifications en question
existent, autrement dit qu’une croyance puisse être justifiée sans qu’on croit
qu’elle l’est (ce que l’on appelle une forme d’externalisme quant à la
justification). Car alors si une certaine théorie impliquait des conséquences
qui ne sont pas crues par les agents, il devrait s’ensuivre que nous serions
justifiés à croire des conséquences que nous n’avons même pas envisagées.
Comment peut-on être justifié à croire quelque chose que l’on ne croit
pas ? (C’est une version du problème de l’omniscience logique).
La
conséquence de tout cela est qu’il n’est pas évident que la théorie causale de
la connaissance impliquée par la prémisse (2) du dilemme de Benacerraf soit
assurée. Et pourtant elle est très plausible. Néanmoins, si l’on ne peut pas
donner une explication satisfaisante de cette condition, quelles raisons
avons-nous de l’adopter ?
Nombre de
philosophes sont cependant prêts à l’adopter, sur une base plus faible. Ils
peuvent refuser de chercher une forme a priori de justification, et soutenir
que nos croyances en général, et nos croyances aux entités mathématiques, sont
justifiées par nos canons généraux de connaissance scientifique. L’idée est que
Argument d’indispensabilité( Quine-Putnam) : si notre
connaissance scientifique en général, et les canons qui la gouvernent,
établissent que les objets mathématiques, et en particulier les objets
abstraits, sont présupposés, ou impliqués par nos meilleures théories
scientifiques, alors nous avons toutes les bonnes raisons – les justifications-
de croire en l’existence de ces entités.
C’est ce que
l’on appelle, dans la littérature de philosophie des mathématiques
contemporaines, un argument d’indispensabilité. C’est une forme
d’argument abductif, dans la terminologie de Peirce, ou un argument reposant
sur l’ « l’inférence à la meilleure explication », de nature
pragmatique. Si la meilleure explication que nous avons de nos croyances aux
objets mathématiques, celle qui est impliquée par notre connaissance physique,
puisque la physique utilise les mathématiques, présuppose l’existence d’objets
abstraits, alors il est rationnel, ou justifié de croire à l’existence de ces
objets. Cette position est naturaliste, et causale, en un sens nom pas étroit
comme précédent, mais en un sens faible ou général : notre connaissance
n’excède pas ce que la physique peut nous amener à croire sur le monde naturel,
et puisque la théorie de la connaissance la meilleure que nous ayons doit se
réduire à une connaissance naturelle – la connaissance qui nous est fournie par
la psychologie, les sciences cognitives, qui se réduisent à la physique, alors
notre meilleure théorie naturaliste doit postuler l’existence d’entités
abstraites. C’est aussi une forme de platonisme naturalisé, mais à la
différence de la théorie causale de la connaissance, il n’implique pas que nous
soyons en mesure de donner une analyse détaillée des connexions causales qui
nous relient aux entités abstraites, mais seulement que nous ayons une justification
générale de cette causalité. C’est pourquoi Quine peut à la fois défendre une
forme d’ « épistémologie naturalisée », selon laquelle il ne
peut pas y avoir d’autre canons de la connaissance que ceux que nous donne
notre pratique scientifique globale, et une forme de platonisme stipulatif.
Le
problème le plus sérieux que rencontre cette forme de platonisme est que les
mathématiques non appliquées sont sans justification. Or il semble que
les mathématiques non appliquées reposent bien sur des pratiques de
justification, sans être liées à « notre pratique scientifique
globale ». C’est une objection que fait Maddy (1990 : 31). Et cela la
conduit à proposer une autre forme de platonisme naturalisé.
2.
Le platonisme
naturalisé de Maddy.
Ce que
les difficultés précédentes montrent est qu’il n’est pas facile de soutenir,
comme le font Changeux et Dehaene (1993 : 123) que le débat quant à
l’ontologie des mathématiques et quant à leur épistémologie, exprimé par le
dilemme de Benacerraf , est un débat purement philosophique, et que ce débat
peut être résolu par l’expérimentation en se passant complètement de toute
théorie de la justification et de toute ontologie des entités mathématiques.
Maddy
entend au contraire proposer une conception naturaliste qui rende justice aux
deux dimensions. Elle reformule, à partir du platonisme de Gödel, le dilemme de
Benacerraf. D’un côté la meilleure explication que nous ayons des objets
mathématiques et celle qui s’accorde le mieux avec la pratique des mathématiciens
est la conception platoniste. D’un autre côté la conception godelienne (ou
penrosienne peut être) de la justification de notre connaissance de ces objets
par l’effet d’une intuition ou d’une évidence transcendante est mystérieuse. Sa
solution pour échapper au dilemme consiste à soutenir que c’est intuition n’est
pas autre chose qu’une connaissance parfaitement naturelle, qui est en fait une
forme de perception, qui est elle-même une forme d’interaction causale
avec les entités mathématiques. Elle soutient que les objets mathématiques sont
des ensembles, et que nous en avons une connaissance perceptive, en d’autres
termes que :
(M) Nous avons une forme de connaissance observationnelle,
perceptive des ensembles
Maddy avance en effet la thèse radicale selon laquelle
nous pouvons interagir causalement, et interagissons causalement avec des
ensembles. En d’autres nous pouvons les voir, les sentir, et même semble-t-il,
les manger.
« Considérez le cas suivant. Steve a besoin de
deux œufs pour son omelette. La boîte à œufs qu’il prend dans le réfrigérateur
lui semble extrêment légère. Il ouvre le carton et voit, à son grand
soulagement, qu’il y a là trois œufs. Ma thèse est que Steve a perçu un
ensemble de trois œufs. Selon l’analyse de la perception que je propose, ceci
requiert qu’il y ait un ensemble de trois œufs dans le carton, que Steve
acquière une croyance perceptive à leur sujet, et que l’ensemble d’œufs
participe dans l’engendrement de ces croyances perceptives de la même manière
que ma main participe dans l’engendrement de ma croyance qu’il y a une main
devant moi quand je la vois sous un éclairage approprié. » (Maddy
1990 : 58)
Mais l’objection immédiate à cette idée n’est-elle pas
que les ensembles ne sont-ils pas des entités qui ne sont pas localisées
spatio-temporellement ? A cela Maddy répond :
« Il n’y a pas de véritable obstacle à l’idée que
les l’ensemble d’œufs vient à l’existence et en sorte, et que spatialement
comme temporellement, il est localisé exactement là où se trouvent ses membres,
c’est-à-dire là où l’ensemble d’œufs et l’ensemble de mains se trouvent,
c’est-à-dire là où se trouvent les œufs et les mains. Et n’importe quel nombre
d’ensembles différents peuvent être localisés au même endroit : par
exemple l’ensemble des ensembles de trois oeufs et l’ensemble des deux
mains est localisé dans le même lieu que l’ensemble de l’ensemble des deux œufs
et l’ensemble de l’autre œuf et des deux maions. Rien de ceci n’est plus
surprenant que le fait que les cinquante deux cartes puisse être localisé au
même endroit que le paquet de cartes.»(1990 : 59)
Une seconde objection est qu’il n’est pas évident que
la croyance perceptive que Steve acquiert soit une croyance au sujet de
l’ensemble des œufs, et que cet ensemble ait trois membres. A cela Maddy répond
que la croyance numérique – qu’il y a trois œufs dans le carton – est une
croyance perceptive. Elle est bien, nous dit Maddy une croyance perceptive non
inférentielle, qui peut néanmoins influencer des inférences sur d’autres croyances
perceptives, et sur d’autres croyances, par exemple qu’il y a assez d’œufs pour
faire l’omelette. Mais alors, est-ce une croyance au sujet d’un ensemble ?
Le problème est que l’amas physique qu’il y a dans le carton n’a pas de
propriété numérique déterminée : il contient trois œufs, mais quantité
d’autres molécules, et encore plus d’atomes, et seulement le quart d’un carton
d’œufs. Pour toute masse d’une substance physique, il n’y a pas de manière
prédéterminée dont elle peut être divisée, et sans cette division, il n’y a pas
de propriété numérique prédéterminée. C’était précisément la difficulté que
nous avons rencontrée au sujet de la « numérosité ».
On peut
répondre que le sujet d’une propriété numérique est un agrégat, mais la réponse
de Frege est qu’il s’agit d’un concept, ou une autre réponse est qu’il s’agit
de l’extension du concept, une classe. Maddy préfère dire que c’est un
ensemble.
Mais
quelle sorte d’ensemble ? On distingue les ensembles purs, c’est à
dire les ensembles figurant dans la hiérarchie itérative construite à partir de
l’ensemble nul à travers les opérations de création des ensembles comme
l’opération qui nous donne la puissance d’un ensemble, et les ensembles impurs,
qui ont au moins un non-ensemble dans leur clôture transitive. Si la thèse de Maddy porte sur ces derniers
en même temps que , on peut parler d’un platonisme physicaliste proprement
dit ; si elle porte sur les ensembles impurs seulement, on ne peut parler
que d’un platonisme physicaliste hybride (Balaguer 1994) , admettant que nous
percevons pas les ensembles purs. Mais elle ne décide pas en faveur de l’une ou
l’autre de ces thèses. Si elle défend
le platonisme physicaliste hybride, elle peut soutenir que notre connaissance
des ensembles purs est obtenu inférentiellement à partir de notre connaissance
perceptive des ensembles impurs. Mais le problème avec la thèse hybride est que
le platoniste traditionnel peut défendre exactement la même idée, et par
conséquent que la thèse hybride n’offre pas une alternative authentique au
platonisme traditionnel, dont Gödel est peut être un réprésentant. il vaut
mieux alors concevoir sa position comme une défense du platonisme physicaliste
stricto sensu. Sa théorie implique que si nous ne percevons pas directement
toutes les propriétés des ensembles physiques que nous observons nous percevons
bien les propriétés des ensembles que nous observons, et pouvons inférer les
autres. En fait sa thèse implique bien que les nombres soient des propriétés,
c’est à dire des universaux, et non pas, comme celle de Frege que les nombres
soient les propriétés de propriétés, ou de concepts. Biglow (1988) a défendu,
sur la plan ontologique, une telle théorie des nombres comme universaux. On
retrouve ainsi l’idée gödelienne selon laquelle les mathématiques sont une
partie de la science de la nature.
En outre,
Maddy, après avoir accepté à un moment l’argument quinien de
l’indispensabilité, tend à présent (Maddy 1992) à le rejeter. Elle entend donc
s’en tenir à une théorie causale de la justification des croyances perceptives
au sujet des ensembles, et elle spécifie les processus appropriés de perception
à partir à la fois de modèles neuronaux empruntés à Hebb et de considérations
développementales piagétiennes. Comme on l’a vu, les travaux de Wynn et ceux de
Dehaene et Changeux lui permettraient d’améliorer ces hypothèses quant à la
perception numérique, et sans doute de les modifier. Mais ils ne changeraient
pas substantiellement la nature causale de la théorie épistémologique proposée.
La
théorie de Maddy tient à son hypothèse selon laquelle certains ensembles sont
localisés là où se trouvent leurs membres et ne sont pas moins observables que
le sont leurs membres. Comme elle le dit :
« Dix
est localisée là où se trouve l’ensemble de mes doigts, en mouvement sur les
touches de mon traitement de texte. Mais si c’est correct, alors dix est
localisé là où se trouve la première ligne d’une équipe de base ball américian,
et sur la liste des best sellers du Times, et dans de nombreux autres
endroits. .. Par les critères traditionnels ce la fait de l’ensemble des
joueurs de base ball un particulier et du nombre dix un universel » (Maddy
1990 : 87)
Mais pourquoi devrions nous accepter cette hypothèse.
La réponse de Maddy est que si l’on reconnaît l’existence des ensembles, il n’y
a pas d’obstacle réel à soutenir que les ensembles formés d’objets
spatio-temporels sont localisés là où se trouvent ces objets, et que nous
acquérons des croyances directes au sujet des ensembles par la perception.
Mais
alors que la thèse selon laquelle les ensembles d’objets physiques sont
localisés dans l’espace-temps, il n’est pas évident que cela transforme les
ensembles en des objets physiques. Car si ces ensembles sont des objets
physiques, on devrait pouvoir les distinguer par leurs propriétés physiques.
Mais les ensembles physiques occupent exactement les mêmes lieux
spatio-temporels que leurs membres et ils participent exactement aux mêmes
événements, et par conséquent nos moyens habituels pour distinguer les objets
physiques ne s’appliquent pas à eux. Mais alors quelles sont les propriétés
physiques qui distinguent un ensemble de deux livres de l’ensemble de cet
ensemble ou de l’ensemble des sous ensembles non vides de cet ensemble ?
Maddy répondrait qu’ils diffèrent par le fait qu’ils ont des membres distincts.
Mais Avoir des membres distincts est une propriété des ensembles, et ce n’est une propriété
physique qu’en vertu de la stipulation selon laquelle les ensembles sont des
objets physiques. Par conséquent Maddy fait ici une pétition de principe
(Resnik 1997 : 95).
Qu’en
est-il alors de la thèse de Maddy selon laquelle nous pouvons voir directement
certains ensembles ? Tout le
problème est ici celui de savoir si nous les voyons directement. Mais elle
défend aussi l’idée que la perception est faite de croyances perceptives, de
jugements, et d’inférences à partir de ces croyances. Or on peut
« voir » des électrons à partir de données sur un écran d’ordinateur.
Mais cela n’implique pas que l’on voie les électrons eux-mêmes, pas plus que la
thèse de Maddy n’implique que les propriétés des ensembles soient vus
directement.
Elle est
parfaitement consciente de la difficulté, car elle écrit dans une note :
« Steve n’a pas besoin d’exprimer sa croyance
[qu’il y a trois œufs dans cette boîte] sous cette forme [que cet ensemble a
trois membres] : implicite dans le mot »ensemble il y a une théorie
plus sophistiquée que celle dont la plupart des gens sont conscients. Quand je
dis qu’il acquiert une croyance perceptive au sujet d’un ensemble, je veux dire
qu’il acquiert une croyance perceptive au sujet de quelque chose qui a une
propriété numérique, que les théoriciens connaissent comme étant un ensemble.
de la même manière quand il perçoit l’arbre devant lui, il a acquis une
croyance perceptive qui a un contenu théorique plus faible que celui qu’un
botaniste fournirait. Néanmoins ce qu’il a perçu était l’arbre du
botaniste » (Maddy : 63)
Tout le problème est là. Fred Dretske a distingué le
« voir non épistémique » du « voir épistémique », le voir
sans jugement identifiant du voir avec un tel jugement identifiant. Mais les
propriétés des ensembles dépendent du second voir, et non pas du premier. Et
c’est toute la difficulté des thèses qui essaient d’établir la généalogie
psychologique et cognitive de notre connaissance des nombres à partir de notre
perception de la numérosité.
Je ne dis
pas que ces théories soient fausses ; mais tant qu’elles n’ont pas pris
parti sur la question ontologique de la nature des nombres et sur la question
épistémologique de la nature de leur connaissance, ces théories sont vouées à
rester indéterminées, et à rester prises dans le dilemme de Benacerraf.
Benacerraf and Putnam, eds,
1983 Philosophy of Mathematics,
Selected
Readings, Cambridge Cambridge
University Press
Benacerraf, P. 1965 «
What Numbers could not be », repr.
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Burgess, J. and Rosen, G. 1997
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Changeux,
J.P. et Connes, A. 1989 Matière à
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