Pré-Publication, Document De Travail Année : 2025

Semiclassical tunneling for some 1D Schrödinger operators with complex-valued potentials

Effet tunnel semiclassique pour des opérateurs de Schrödinger 1D avec potentiels complexes.

Résumé

We consider the non-selfadjoint, semiclassical Schrödinger operator $\mathscr{L}(h) := -h^2\partial_x^2+e^{i\alpha}V$, where $\alpha \in (-\pi,\pi)$ and $V: \mathbb{R}\to \mathbb{R}_+$ is even and vanishes at exactly two (symmetric) non-degenerate minima. We establish a semiclassical tunneling result: the spectrum of $\mathscr{L}(h)$ near the origin is given by a sequence of algebraically simple eigenvalues which come in exponentially close pairs (within a $\mathscr{O}(e^{-S/h})$ distance where $S > 0$ is explicit), each pair being separated from the others by a distance $\mathscr{O}(h)$. A one-term estimate of the gap between the two smallest eigenvalues in magnitude is derived; it reveals that, when $\alpha \neq 0$, they quickly rotate around each other as $h$ goes to $0$.

On considère l'opérateur de Schrödinger semiclassique non-autoadjoint $\mathscr{L}(h) := -h^2\partial_x^2+e^{i\alpha}V$, où $\alpha \in (-\pi,\pi)$ et $V : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ est pair et s'annule exactement en deux minima (symétriques) non-dégénérés. On établit une formule d'effet tunnel semiclassique : le spectre de $\mathscr{L}(h)$ près de l'origine est donné par une suite de paires de propres algébriquement simples regroupées par paires exponentiellement proches (à une distance $O(e^{-S/h})$ où $S > 0$ est explicite), chaque paire étant séparée des autres par une distance $O(h)$. On donne un équivalent de l'écart entre les deux valeurs propres les plus proches de l'origines; celui-ci révèle que, lorsque $\alpha \neq 0$, elles tournent rapidement l'une autour de l'autre lorsque $h$ tend vers $0$.

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hal-05298166 , version 1 (05-10-2025)

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  • HAL Id : hal-05298166 , version 1

Citer

Martin Averseng, Nicolas Frantz, Frédéric Hérau, Nicolas Raymond. Semiclassical tunneling for some 1D Schrödinger operators with complex-valued potentials. 2025. ⟨hal-05298166⟩
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