Quantitative Limit Theorems for Cox-Poisson and Cox-Binomial Point Processes
Théorèmes limites quantitatifs pour les processus ponctuels de Cox-Poisson et de Cox-binomial
Résumé
This paper establishes quantitative limit theorems for two classes of Cox point processes, quantifying their convergence to a Poisson point process (PPP). We employ Stein's method for PPP approximation, leveraging the generator approach and the Stein-Dirichlet representation formula associated with the Glauber dynamics. First, we investigate a Cox-Poisson process constructed by placing one-dimensional PPPs on the lines of a Poisson line process in $\mathbb{R}^2$. We derive an explicit bound on the convergence rate to a homogeneous PPP as the line intensity grows and the point intensity on each line diminishes. Second, we analyze a Cox-Binomial process on the unit sphere $\mathbb{S}^2$, modeling a system of satellites. This process is generated by placing PPPs on great-circle orbits, whose positions are determined by a Binomial point process. For this model, we establish a convergence rate of order O(1/n) to a uniform PPP on the sphere, where n is the number of orbits. The derived bounds provide precise control over the approximation error in both models, with applications in stochastic geometry and spatial statistics.
Cet article établit des théorèmes limites quantitatifs pour deux types de processus ponctuels de Cox, en quantifiant leur convergence vers un processus ponctuel de Poisson (PPP). Nous utilisons la méthode de Stein pour l'approximation des PPP, en s'appuyant sur l'approche par générateur et la formule de représentation de Stein-Dirichlet associée à la dynamique de Glauber. Premièrement, nous étudions un processus de Cox-Poisson construit en plaçant des PPP unidimensionnels sur les lignes d'un processus ponctuel de Poisson dans $\mathbb{R}^2$. Nous obtenons une borne explicite pour le taux de convergence vers un PPP homogène lorsque l'intensité des lignes augmente et que l'intensité des points sur chaque ligne diminue. Deuxièmement, nous analysons un processus de Cox-Binomial sur la sphère unité $\mathbb{S}^2$, modélisant un système de satellites. Ce processus est généré en plaçant des PPP sur des orbites circulaires, dont la position est déterminée par un processus ponctuel binomial. Pour ce modèle, nous établissons un taux de convergence de l'ordre de O(1/n) vers un PPP uniforme sur la sphère, où n est le nombre d'orbites. Ces bornes permettent un contrôle précis de l'erreur d'approximation dans les deux modèles, avec des applications en géométrie stochastique et en statistique spatiale.
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