A NEW APPROACH TO THE MONGE-AMP ÈRE EIGENVALUE PROBLEM
Une nouvelle approche au problème des valeurs propres pour l'opérateur de Monge-Ampère
Résumé
We study the eigenvalue problem for the complex Monge-Ampère operator in bounded hyperconvex domains in C^n , where the right-hand side is a non-pluripolar positive Borel measure. We establish the uniqueness of eigenfunctions in the finite energy class introduced by Cegrell, up to positive multiplicative constants, and provide a Rayleigh quotient type formula for computing the eigenvalue. Under a natural continuity assumption on the measure, we further show that both the eigenvalue and eigenfunctions can be obtained via an iterative procedure starting from any negative finite energy function. Our approach relies on the fine properties of plurisubharmonic envelopes, which allow a partial sublinearization of the nonlinear problem. As far as we know, this method is new, even in the linear case, and not only yields new results but also significantly simplifies existing arguments in the literature. Moreover, it extends naturally to the setting of complex Hessian operators. Finally, by translating our results from the complex Monge-Ampère setting via a logarithmic transformation, we also obtain several interesting analogues for the real Monge-Ampère operator.
Nous étudions le problème des valeurs propres pour l'opérateur complexe de Monge-Ampère dans les domaines hyperconvexes bornés en C^n , où le membre droite est une mesure de Borel positive non multipolaire. Nous établissons l'unicité des fonctions propres dans la classe d'énergie finie introduite par Cegrell, à constantes multiplicatives positives près, et fournissons une formule de type quotient de Rayleigh pour le calcul de la valeur propre. Sous une hypothèse de continuité naturelle sur la mesure, nous montrons en outre que la valeur propre et les fonctions propres peuvent être obtenues par une procédure itérative à partir de toute fonction d'énergie finie négative. Notre approche s'appuie sur les propriétés fines des enveloppes plurisubharmoniques, qui permettent une sous-linéarisation partielle du problème non linéaire. À notre connaissance, cette méthode est nouvelle, même dans le cas linéaire, et non seulement produit de nouveaux résultats, mais simplifie aussi considérablement les arguments existants dans la littérature. De plus, il s'étend naturellement au cadre des opérateurs hessiens complexes. Enfin, en traduisant nos résultats du cadre complexe de Monge-Ampère via une transformation logarithmique, nous obtenons également plusieurs analogues intéressants pour le véritable opérateur de Monge-Ampère.
Mots clés
- July 24 2025. 2010 Mathematics Subject Classification. 31C45 2U15 32U40 32W20 35J66 35J96 Complex Monge-Ampère operator Dirichlet eigenvalue iterative method uniqueness plurisubharmonic envelope
- July 24
- 2025. 2010 Mathematics Subject Classification. 31C45
- 2U15
- 32U40
- 32W20
- 35J66
- 35J96 Complex Monge-Ampère operator
- Dirichlet eigenvalue
- iterative method
- uniqueness
- plurisubharmonic envelope
Domaines
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