A new definition for m-Cambrian lattices
Une nouvelle définition pour les treillis m-cambriens
Résumé
The Cambrian lattices, introduced in (Reading, 2006), generalize the Tamari lattice to any choice of Coxeter element in any finite Coxeter group. They are further generalized to the m-Cambrian lattices (Stump, Thomas, Williams, 2015). However, their definitions do not provide a practical setup to work with combinatorially.In this paper, we provide a new equivalent definition of the m-Cambrian lattices on simple objects called m-noncrossing partitions, using a simple and effective comparison criterion. It is obtained by showing that each interval has a unique maximal chain that is c-increasing, which is computed by a greedy algorithm. Our proof is uniform, involving all Coxeter groups and all choices of Coxeter element at the same time.This work has been accepted as an extended abstract for the FPSAC 2025 conference. A long version of this work will be available later.
Les treillis cambriens, introduits dans (Reading, 2006), généralisent le treillis de Tamari à tout choix d'élément de Coxeter dans tout groupe de Coxeter fini. Ils ont été généralisé en les treillis m-cambriens (Stump, Thomas, Williams, 2015), mais ces définitions ne fournissent pas de modèle combinatoire pratique.Dans cet article, nous donnons une nouvelle définition des treillis m-cambriens sur des objets simples appelés m-partitions non croisées, avec un critère de comparaison simple et efficace. Elle est obtenue en montrant que chaque intervalle a une unique chaîne maximale c-croissante, calculée par un algorithme glouton. Notre preuve est uniforme et implique tous les groupes de Coxeter et tous les choix d'élément de Coxeter à la fois.Cet article a été accepté comme résumé étendu pour la conférence FPSAC 2025. Une version longue de ce travail sera disponible ultérieurement.
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