Pré-Publication, Document De Travail Année : 2025

On Diophantine properties for values of Dedekind zeta functions

Autour des propriétés diophantiennes des valeurs des fonctions zêta de Dedekind

Résumé

We study the Northcott and Bogomolov property for special values of Dedekind ζ-functions at real values σ∈ℝ. We prove, in particular, that the Bogomolov property is not satisfied when σ≥0.5. If σ>1, we produce certain families of number fields having arbitrarily large degrees, whose Dedekind ζ-functions ζ_K(s) attain arbitrarily small values at s=σ. On the other hand, if 0.5≤σ≤1, we construct suitable families of quadratic number fields, employing either Soundararajan's resonance method, which works when 0.5≤σ<1, or results on random Euler products by Granville and Soundararajan, and by Lamzouri, which work when 0.5<σ≤1. We complete the study by proving that the Dedekind ζ-function together with the degree satisfies the Northcott property for every complex s∈ℂ such that Re(s)<0, generalizing previous work of Généreux and Lalín.

Nous étudions les propriétés de Northcott et Bogomolov pour les valeurs spéciales des fonctions zêta de Dedekind, prises aux nombres réels σ∈ℝ. Nous prouvons en particulier que la propriété de Bogomolov n'est pas satisfaite si σ≥0.5. Quand σ>1 nous trouvons certaines familles de corps de nombres dont le degré est arbitrairement large et telles que les valeurs ζ_K(s) des fonctions zêta de Dedekind associées sont petites si s=σ. D'autre côté, si 0.5≤σ≤1 nous construisons des familles convenables de corps quadratiques, en utilisant soit la méthode de la résonance de Soundararajan, qui fonctionne si 0.5≤σ<1, soit les résultats autour des produit Euréliens aléatoires par Granville et Soundararajan, et par Lamzouri, qui fonctionnent si 0.5<σ≤1. Nous complétons l'étude en montrant que les valeurs des fonctions zêta de Dedekind, avec le degré, satisfont la propriété de Northcott pour chaque nombre complexe s∈ℂ such that Re(s)<0, en généralisant un travail précédent de Généreux et Lalín.

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hal-04973456 , version 1 (03-03-2025)

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Citer

Jerson Caro, Fabien Pazuki, Riccardo Pengo. On Diophantine properties for values of Dedekind zeta functions. 2025. ⟨hal-04973456⟩
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