Sur la structure des représentations génériques des groupes linéaires infinis
Résumé
We study several structure aspects of functor categories from a small additive category to a module category, in particular the category F(A,K) of functors from finitely generated free modules over a commutative ring A to vector spaces over a field K --- such functors are sometimes called \textit{generic representations} of linear groups over A with coefficients in K. We are especially interested with finitely generated functors of F(A,K) taking finite dimensional values. We prove that they can, under a mild extra assumption (always satisfied if the ring A is noetherian), be built from much better understood functors, namely polynomial functors (in the sense of Eilenberg-MacLane), or factorising at the source through reduction modulo a cofinite ideal of A. We deduce that such functors are always noetherian et that, if the ring A is finitely generated, they have finitely generated projective resolutions.
Our methods rely mainly on the study of weight decompositions of functors and their cross-effects, our recent previous work with Vespa (Ann. ENS 2023) and elementary commutative algebra.
Nous étudions plusieurs aspects structuraux des catégories de foncteurs d'une petite catégorie additive vers une catégorie de modules, notamment de la catégorie F(A,K) des foncteurs des modules libres de rang fini sur un anneau commutatif A vers les espaces vectoriels sur un corps commutatif K --- de tels foncteurs sont parfois appelés représentations génériques des groupes linéaires sur A à coefficients dans K. Nous nous intéressons en particulier aux foncteurs de type fini de F(A,K) prenant des valeurs de dimensions finies. Nous montrons qu'ils se ramènent moyennant une légère hypothèse supplémentaire (toujours vérifiée si A est un anneau noethérien) à des foncteurs bien mieux compris, à savoir des foncteurs polynomiaux}(à la Eilenberg-MacLane), ou se factorisant à la source par la réduction modulo un idéal cofini de A. Nous en déduisons que de tels foncteurs sont toujours noethériens et que, si l'anneau A est de type fini, ils possèdent des résolutions projectives de type fini.
Nos méthodes reposent principalement sur l'étude de décompositions en poids des foncteurs et de leurs effets croisés, un travail antérieur récent avec Vespa (Ann. ENS 2023) et de l'algèbre commutative élémentaire.
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