Éléments de Neurogéométrie, II
Résumé
Ce second volume des “Éléments de Neurogéométrie” est consacré à la modélisation mathématique des nombreuses données expérimentales sur le cortex visuel primaire présentées dans le premier volume. Il est focalisé sur les modèles d'architecture fonctionnelle corticale.
Son premier pilier repose sur les théories des formes différentielles, des connexions et des espaces de jets. Les structures de contact y jouent un rôle prépondérant, d'abord celle de l'espace des 1-jets des courbes planes, qui est invariante par une structure de groupe isomorphe au groupe de Heisenberg polarisé, ensuite celle du groupe de Lie SE(2) des déplacements du plan. Ces structures de contact sont munies d'une géométrie sous-riemannienne naturelle dont les géodésiques sont proposées comme modèles des contours illusoires modaux qui constituent l'une des énigmes de la perception visuelle. Les méthodes variationnelles de la théorie du contrôle optimal permettent de les étudier avec précision.
Le deuxième pilier du volume est l'analyse harmonique non commutative reposant sur la théorie des représentations de groupes. Associée à la théorie des “états cohérents” et de la diffusion sous-riemannienne, elle permet de comprendre comment la géométrie du connectome pilote l'analyse du signal optique par les profils récepteurs des neurones visuels.
S'adressant aux biomathématiciens, cette longue étude voudrait promouvoir en neurosciences des concepts mathématiques permettant de géométriser le connectome visuel primaire et, en sens inverse, promouvoir aussi une interprétation neuronale des fondements de la géométrie.
Mots clés
Aire visuelle primaire
analyse harmonique non commutative
analyse spectrale
architecture fonctionnelle
calcul des variations
caustique
connexion (Cartan)
contour illusoire
contrôle optimal
cut locus
diffusion sous-riemannienne
elastica (Euler)
espace de jets
état cohérent
fibration
forme de Kirillov
forme de Maurer-Cartan
forme différentielle
géodésique
géométrie sous-riemannienne
Gestalttheorie
groupe de Heisenberg
groupe et algèbre de Lie
hypercolonne corticale
inpainting
intégrale oscillante
neurogéométrie
nilpotentisation
ondelette
opérateur différentiel
phénoménologie
pinwheel
problème de Pfaff
relevée legendrienne
représentation de groupe
SE(2)
simplexité
sous-variété lagrangienne
structure de contact
structure symplectique
transformée de Bargmann
transformée de Fourier
vision computationnelle
vision entoptique.
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