Vorticity-velocity-pressure and stream function-vorticity formulations for the Stokes problem
Résumé
We study the Stokes problem of incompressible fluid dynamics in two and three-dimension spaces, for general bounded domains with smooth boundary. We use the vorticity-velocity-pressure formulation and introduce a new Hilbert space for the vorticity. We develop an abstract mixed formulation that gives a precise variational frame and conducts to a well-posed Stokes problem involving a new velocity-vorticity boundary condition. In the part cular case of simply connected bidimensional domains with homogeneous boundary conditions, the link with the classical stream function-vorticity formulation is completely described, and we show that the vorticity-velocity-
pressure formulation is a natural mathematical extension of the previous one.
Nous étudions le problème de Stokes pour les fluides incompressibles en deux et trois dimensions, sur des domaines bornés à frontière régulière. Nous utilisons pour cela une formulation tourbillon-vitesse-pression et introduisons un nouvel espace de Hilbert pour le tourbillon. Nous développons une formulation mixte abstraite qui donne un cadre variationnel précis et conduit à un problème de Stokes bien posé faisant intervenir une nouvelle condition limite en vitesse-tourbillon. Dans le cas particulier de domaines bidimensionnels simplement connexes avec des conditions limites homogènes, nous décrivons complètement le lien avec la formulation classique en fonction courant-tourbillon et nous montrons que la formulation tourbillon-vitessepression est une extension mathématique naturelle de celle-ci.
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