From Stochastic Zakharov System to Multiplicative Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation
Convergence d'un système de Zakharov stochastique vers l'équation de NLS multiplicative
Résumé
We study the convergence of a Zakharov system driven by a time white noise, colored in space, to a multiplicative stochastic nonlinear Schrödinger equation, as the ion-sound speed tends to infinity. In the absence of noise, the conservation of energy gives bounds on the solutions, but this evolution becomes singular in the presence of the noise. To overcome this difficulty, we show that the problem may be recasted in the diffusion-approximation framework, and make use of the perturbed test-function method. We also obtain convergence in probability. The result is limited to dimension one, to avoid too much technicalities. As a prerequisite, we prove the existence and uniqueness of regular solutions of the stochastic Zakharov system.
Nous étudions la convergence d'un système de Zakharov forcé par un bruit blanc temporel, coloré en espace, vers une équation de Schrödinger non linéaire stochastique multiplicative. En l'absence de bruit, la conservation de l'énergie donne des bornes uniformes sur les solutions, mais cette évolution devient singulière en présence du bruit. Pour surmonter cette difficulté, nous montrons que le problème peut être replacé dans le cadre de l'approximation-diffusion, et nous utilisons la méthode de la fonction-test perturbée. Nous obtenons également une convergence en probabilité. Le résultat est limité à la dimension un, pour éviter trop de technicité. En préambule, nous prouvons l'existence et l'unicité de solutions régulières du système de Zakharov stochastique.
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