Le problème des grandes puissances et celui des grandes racines
Résumé
Abstract Let f be a function from N to N that can not be computed in polynomial time, and let a be an element of a differential field K of characteristic 0. The problem of large powers is the set of tuples = (x 1 …..x n ) of K so that x 1 =a f(n) , and the problem of large roots is the set of tuples of K so that . These are two examples of problems that the use of derivation does not allow to solve quicker. We show that the problem of large roots is not polynomial for the differential field K . even if we use a polynomial number of parameters, and that the problem of large powers is not polynomial for the differential field K . even for non-uniform complexity. The proofs use the polynomial stability (i.e., the elimination of parameters) of field of characteristic 0. shown by L. Blum, F. Cucker, M. Shub and S. Smale, and the reduction lemma, that transforms a differential polynomial in variables into a polynomial in variables and their derivatives.
Résumé Soit f une fonction de N dans N qui ne soit pas calculable en temps polynomial, et a un élément d'un corps differentiel K de caractéristique nulle. Nous appelons probleme des grandes puissances l'ensembledes uples = ( x 1 ….. x n ) de K telsque x 1 = a f ( n ) et problème des grandes racines l'ensemble des uples de K tels que . Ce sont deux exemples de problèmes que l'utilisation de la dérivée ne permet pas de résoudre plus rapidement. Nous montrons que le problème des grandes racines n'est pas polynomial au sens des corps differentiels, même si nous autorisons un nombre polynomial de paramètres. et que le problème des grandes puissances n'est pas polynomial au sens des corps differentiels. même au niveau non uniforme. Les démonstrations utilisent la stabilité polynomial de la théorie des corps de caractéristique nulle. montrée par L. Blum, F. dicker. M. Shub et S. Smale, ainsi que le lemme de réduction qui permet de ramener un polynôme differentiel des variables a un polynôme des variables et de leurs dérivées.