Small-Time Local Controllability of the multi-input bilinear Schrödinger equation thanks to a quadratic term
Contrôlabilité locale en temps petit de l'équation de Schrödinger bilinéaire multi-commandée, grâce à un terme quadratique
Résumé
The goal of this article is to contribute to a better understanding of the relations between the exact controllability of nonlinear PDEs and the control theory for ODEs based on Lie brackets, through a study of the Schrödinger PDE with bilinear control.
We focus on the small-time local controllability (STLC) around an equilibrium, when the linearized system is not controllable. We study the second order order term in the Taylor expansion of the state, with respect to the control.
For scalar input ODEs, quadratic terms never recover controllability: they induce signed drifts in the dynamics. Thus proving STLC requires to go at least to the third order. Similar results were proved for the bilinear Schrödinger PDE with scalar input controls.
In this article, we study the case of multi-input systems. We clarify among the quadratic Lie brackets, those that allow to recover STLC: they are bilinear with respect to 2 different controls. For ODEs, our result is a consequence of Sussman’s sufficient condition S(θ) (when focused on quadratic terms), but we propose a new proof, designed to prepare an easier transfer to PDEs. This proof relies on a representation formula of the state inspired by the Magnus formula. By adapting it, we prove a new STLC result for the bilinear Schrödinger PDE.
Le but de cet article est de contribuer à une meilleure compréhension des relations entre la contrôlabilité exacte des EDP non linéaires et la théorie du contrôle pour les EDO basées sur les crochets de Lie, à travers une étude de l'EDP de Schrödinger avec contrôle bilinéaire.
Nous nous concentrons sur la contrôlabilité locale en temps petit (STLC) autour d'un équilibre, lorsque le système linéarisé n'est pas contrôlable. Nous étudions le terme d'ordre 2 dans le développement de Taylor de l'état, par rapport au contrôle.
Pour les EDO avec un seul contrôle, les termes quadratiques ne permettent jamais de retrouver la contrôlabilité : ils induisent des dérives signées dans la dynamique. Ainsi, pour prouver la STLC, il faut aller au moins jusqu'au troisième ordre. Des résultats similaires ont été prouvés pour l'EDP bilinéaire de Schrödinger avec un contrôle.
Dans cet article, nous étudions le cas des systèmes à entrées multiples. Nous clarifions parmi les crochets de Lie quadratiques, ceux qui permettent de récupérer la STLC : ils sont bilinéaires par rapport à 2 contrôles différents. Pour les EDO, notre résultat est une conséquence de la condition suffisante S(θ) de Sussman (lorsqu'on s'intéresse aux termes quadratiques), mais nous proposons une nouvelle preuve, conçue pour être transférable plus facilement aux EDP. Cette preuve repose sur une formule de représentation de l'état inspirée de la formule de Magnus. En l'adaptant, nous prouvons un nouveau résultat de STLC pour l'EDP bilinéaire de Schrödinger.
Fichier principal
STLC of the Schrödinger equation thanks to a quadratic term.pdf (749.87 Ko)
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