Drilling hyperbolic groups
Forages de groupes hyperboliques
Résumé
Given a hyperbolic group $G$ and a maximal infinite cyclic subgroup $\langle g \rangle$, we define a drilling of $G$ along $g$, which is a relatively hyperbolic group pair $(\widehat{G}, P)$. This is inspired by the well-studied procedure of drilling a hyperbolic 3-manifold along an embedded geodesic. We prove that, under suitable conditions, a hyperbolic group with $2$-sphere boundary admits a drilling where the resulting relatively hyperbolic group pair $(\widehat{G}, P)$ has relatively hyperbolic boundary $S^2$. This allows us to reduce the Cannon Conjecture (in the residually finite case) to a relative version.
Etant donné un groupe hyperbolique $G$ et un sous-groupe cyclique infini maximal $\langle g \rangle$, on définit le forage de $G$ le long de $g$ comme un groupe relativement hyperbolique. Cette construction est inspirée de la procédure bien connue du forage d'une variété hyperbolique de dimension 3 le long d'une géodésique fermée simple. On montre, sous des hypothèses adéquates, qu'un groupe hyperbolique de bord la sphère $S^2$ admet un forage tel que le groupe relativement hyperbolique résultant a aussi son bord de Bowditch homéomorphe à $S^2$. On peut ainsi ramener la conjecture de Cannon à une version relative, dans le cas résiduellement fini.