Ergodic theorem for branching Markov chains indexed by trees with arbitrary shape
Théorème ergodique pour les chaînes de Markov branchantes indexées par des arbres avec des formes arbitraires
Résumé
We prove an ergodic theorem for Markov chains indexed by the Ulam-Harris-Neveu tree over large subsets with arbitrary shape under two assumptions: with high probability, two vertices in the large subset are far from each other and have their common ancestor close to the root. The assumption on the common ancestor can be replaced by some regularity assumption on the Markov transition kernel. We verify that those assumptions are satisfied for some usual trees. Finally, with Markov-Chain Monte-Carlo considerations in mind, we prove when the underlying Markov chain is stationary and reversible that the Markov chain, that is the line graph, yields minimal variance for the empirical average estimator among trees with a given number of nodes.
Nous démontrons un théorème ergodique pour des chaînes de Markov indexées par l'arbre d'Ulam-Harris-Neveu sur des grands sous-ensembles de forme arbitraire, sous deux hypothèses : avec grande probabilité, deux sommets du grand sous-ensemble sont éloignés l’un de l’autre et ont leur ancêtre commun proche de la racine. L’hypothèse sur l’ancêtre commun peut être remplacée par une hypothèse de régularité sur le noyau de transition de la chaîne de Markov. Nous vérifions que ces hypothèses sont satisfaites pour certains arbres usuels. Enfin, motivés par des considérations liées aux méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov, nous prouvons que lorsque la chaîne de Markov sous-jacente est stationnaire et réversible, cette chaîne de Markov, autrement dit le graphe ligne, minimise la variance de l’estimateur de la moyenne empirique parmi les arbres ayant un nombre donné de nœuds.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|---|
| Licence |