Zur $H^{m}$-Regularität für elliptische Gleichungen zweiter Ordnung
On the $H^{m}$-Regularity for Second Order Elliptic Equations
Sur la $H^{m}$-régularité pour les équations elliptiques du second ordre
Résumé
Unser Hauptziel in diesem Artikel ist die Diskussion der $H^{m}$-Regularität für elliptische Gleichungen zweiter Ordnung über Sobolev-Räumen. Wir betrachten hier die Fälle $m=1$ und $m\geq 2$ getrennt. Wir betrachten einige elementare Konzepte der \textit{Funktionsanalyse} und der \textit{Abstrakten Harmonischen Analyse} noch einmal, bevor wir den Begriff der schwachen Lösung eines Dirichlet-Problems richtig definieren.\par
Während wir in späteren Phasen verschiedene Arten von Regularitätsbedingungen klassifizieren werden, liegt der Schwerpunkt auf der Ableitung geeigneter Elliptizitätsbedingungen zur Unterstützung von Kommentaren zur Existenz und Einzigartigkeit der schwachen Lösungen für ein gegebenes Problem. Im Abschnitt „Bibliographie“ werden entsprechende Referenzen bereitgestellt, um begeisterten Lesern und Forschern auf diesem Gebiet die weitere Lektüre zu erleichtern.
Our primary objective in this paper is to discuss the $H^{m}$-Regularity for second order elliptic equations over Sobolev Spaces. We here consider the cases $m=1$ and $m\geq 2$ separately. We revisit some elementary concepts in \textit{Functional Analysis} and \textit{Abstract Harmonic Analysis} before providing a proper definiton to the notion of weak solution of a Dirichlet Problem.\par
While towards the later stages, we shall classify different types of regularity conditions, the main focus lies upon deducing appropriate ellipticity conditions in support of commenting about the existence and uniqueness of the weak solutions to a given problem. Appropriate references are provided in the bibliography section to facilitate further reading for ardent readers and researchers in this field.
Notre objectif principal dans cet article est de discuter de la régularité $H^{m}$ pour les équations elliptiques du second ordre sur les espaces de Sobolev. Nous considérons ici les cas $m=1$ et $m\geq 2$ séparément. Nous revisitons quelques concepts élémentaires dans \textit{Analyse Fonctionnelle} et \textit{Analyse Harmonique Abstraite} avant de fournir une définition appropriée de la notion de solution faible d'un problème de Dirichlet.\par
Alors que dans les étapes ultérieures, nous classifierons différents types de conditions de régularité, l'accent principal consiste à déduire des conditions d'ellipticité appropriées pour étayer les commentaires sur l'existence et l'unicité des solutions faibles à un problème donné. Des références appropriées sont fournies dans la section bibliographie pour faciliter la lecture ultérieure des lecteurs ardents et des chercheurs dans ce domaine.
Mots clés
Fourier Transform
Sobolev Space
Schwartz Space
Hilbert Space
Weak Derivative
Trace Theorem
Integration by Parts
Outward Normal
Bounded Domain
Boundary Value Problem
Dirichlet Problem
Weak Solution
Uniqueness
Existence
Interior Regularity
Boundary Regularity
Higher Regularity
Elliptic Equation
Elliptic Operator
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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