The 1/3-conjectures for domination in cubic graphs
Les conjectures-1/3 pour la domination des graphes cubiques
Résumé
A set S of vertices in a graph G is a dominating set of G if every vertex not in S is adjacent to a vertex in S . The domination number of G, denoted by γ(G), is the minimum cardinality of a dominating set in G. In a breakthrough paper in 2008, Löwenstein and Rautenbach proved that if G is a cubic graph of order n and girth at least 83, then γ(G) ≤ n/3. A natural question is if this girth condition can be lowered. The question gave birth to two 1/3-conjectures for domination in cubic graphs. The first conjecture, posed by Verstraete in 2010, states that if G is a cubic graph on n vertices with girth at least 6, then γ(G) ≤ n/3. The second conjecture, first posed as a question by Kostochka in 2009, states that if G is a cubic, bipartite graph of order n, then γ(G) ≤n/3. In this paper, we prove Verstraete's conjecture when there is no 7-cycle and no 8-cycle, and we prove the Kostochka's related conjecture for bipartite graphs when there is no 4-cycle and no 8-cycle.
Un ensemble de sommets S dans un graphe G est dominant si tout sommet hors de S est voisin d'un sommet de S. Le nombre de domination de G, noté γ(G), est la taille minimum d'un ensemble dominant de G. Dans un résultat marquant en 2008, Löwenstein et Rautenbach ont prouvé que tout graphe G cubique d'ordre n et de maille au moins 83 vérifie γ(G) ≤ n/3. Il est naturel à la suite de ce résultat de se demander si la condition de maille peut être réduite. Cette question est l'objet de deux conjectures-1/3. La première, émise par Verstraete en 2010, suggère qu'une maille au moins 6 suffirait à ce que la borne soit vraie. La seconde, posée tout d'abord par Kostochka en 2009, suggère que la condition de maille peut être ignorée pourvu que le graphe soit biparti. Dans ce papier, nous montrons un résultat qui implique que la conjecture de Verstraete est vraie quand le graphe ne contient pas de cycle de longueur 7 et 8 (mais les cycles de longueurs 6 sont autorisés), et qui prouve la conjecture de Kostochka pour les graphes bipartis sans cycle de longueur 4 ni 8.
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