Article Dans Une Revue Comptes Rendus. Mathématique Année : 2019

On the summability of divergent power series satisfying singular PDEs

Hua Chen
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 858991
Changgui Zhang
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1276553

Résumé

The aim of this note is to apply the Borel-Laplace summation method studied by H. Chen, Z. Luo and C. Zhang (Summability of formal solutions of singular PDEs by means of twodimensional Borel-Laplace method, preprint) to the divergent power series solutions to two families of nonlinear PDEs. The first one contains particularly a two-dimensional version of the so-called Euler equation (ODE), while the second is called totally characteristic type PDE by H. Chen and H. Tahara (On the holomorphic solution of non-linear totally characteristic equations, Math. Nachr. 219 (2000) 85-96).

The aim is to establish a two-dimensional version of Borel-Laplace summation. Let us start from some equivalent conditions for an analytic function in a product-sector and then to get an asymptotic expansion. This will lead us to define the differential algebras of the eventual sum-functions associated with Borel-summable series. We will observe that the summation order between both variables has a significant impact for the definition of such algebras of functions. Résumé Sur la sommation à la Borel-Laplace de séries entières de deux variables. Le but est d'établir une version bidimensionelle de la sommation de Borel-Laplace. Nous commencerons par des conditions équivalentes imposées à une fonction analytique dans un produit de deux secteurs d'avoir un développement asymptotique. Ceci nous conduira à des algèbres différentielles de fonctions sommes associées aux séries Borel-sommables. Nous constaterons que l'ordre de sommation choisi entre les deux variables aura un impact non négligéable dans la définition de ces algèbres fonctionnelles. Version française abrégée La méthode de resommation de Borel-Laplace des séries divergentes et ses multiples extensions telles que la k-sommation et la mult-sommation ont éte appliquées, depuis les années quatre-vingt du siècle dernier, à l'étude analytique des équations différentielles à points singuliers irréguliers dans le plan complexe. Sur ce sujet, on pourra se contenter de consulter les documents [1,10,13] ainsi les références citées dedans. En ce qui concerne les séries entières divergentes issues d'une équation différentielle à paramètres ou d'une équation aux dérivées partielles, leur étude paraît nettement moins avancée sur le plan de la .

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Hua Chen, Zhuangchu Luo, Changgui Zhang. On the summability of divergent power series satisfying singular PDEs. Comptes Rendus. Mathématique, 2019, 357 (3), pp.258 - 262. ⟨10.1016/j.crma.2019.02.008⟩. ⟨hal-04401415⟩
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