FRANK-OSEEN TYPE SOLUTIONS WITH ORBITS AND VORTICES
Résumé
We establish some exact and approximate analytical solutions of the Frank-Oseen equations under the one-constant hypothesis of the nematic theory of liquid crystals in two and three dimensions. In 2-d, we find a family of homogeneous solutions (or weakly harmonic map solutions) with infinite oscillations of type sin(log(r/R)) where r is the distance from the origin in a centered disk D of radius R. These solutions do not belong to the standard energy space H 1 (D) but to a weaker Sobolev space W 1,p (D) with p < 2. In 3-d, we build analytic approximate solutions in a cylinder and in a sphere, in the sense that they satisfy the Frank-Oseen equations up to a source term that decays as 1/r γ at some rate γ > 0, where r is the cylindrical or spherical radius respectively. While the 2-d solutions have singularities of type log(r), the 3-d solutions exhibit singularities of type log(r) or 1/r in the cylindrical of spherical coordinate examples respectively. All the 3-d solutions present vortices in the vertical axis. The fact that all the solutions both in 2-d and 3-d have infinite energy, motivated us to introduce p-nematic Frank-Oseen equations for p ≤ 2. Many of the solutions encountered in this paper were motivated from the geometry of protoplanetary disks orbits and vortices observed in astrophysical data observations and models, even if the rigorous connection is not yet completely clear.
Nous établissons quelques solutions analytiques exactes et approchées des équations de Frank-Oseen sous l'hypothèse d'une constante unique de la théorie nématique des cristaux liquides en deux et trois dimensions. En 2-d, nous trouvons une famille de solutions homogènes (ou solutions faiblement harmoniques) avec des oscillations infinies de type sin(log(r/R)) où r est la distance à l'origine dans un disque centré D de rayon R. Ces solutions n'appartiennent pas à l'espace d'énergie standard H 1 (D) mais à un espace de Sobolev plus faible W 1,p (D) avec p < 2. En 3-d, nous construisons des solutions analytiques approchées dans un cylindre et dans une sphère, dans le sens où elles satisfont les équations de Frank-Oseen jusqu'à un terme source qui décroît comme 1/r γ à un certain taux γ > 0, où r est le rayon cylindrique ou sphérique respectivement. Alors que les solutions bidimensionnelles présentent des singularités de type log(r), les solutions tridimensionnelles présentent des singularités de type log(r) ou 1/r dans les exemples de coordonnées cylindriques ou sphériques respectivement. Toutes les solutions tridimensionnelles présentent des vortices dans l'axe vertical. Le fait que toutes les solutions en 2-d et 3-d ont une énergie infinie, nous a motivé à introduire des équations de Frank-Oseen p-nématiques pour p ≤ 2. Beaucoup des solutions rencontrées dans cet article ont été motivées par la géométrie des orbites et des vortices des disques protoplanétaires observés dans les observations et les modèles astrophysiques, même si le lien rigoureux n'est pas encore rigoureux.
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