Il est connu que le quotient du groupe dérivé du groupe de réflexions complexe $G_{32}$ de Shephard-Todd (qui est de rang $4$) par son centre est isomorphe au groupe dérivé du groupe de Weyl de type $E_6$. Nous montrons que cet isomorphisme peut se réaliser via la puissance extérieure deuxième et en profitons pour proposer une construction alternative du groupe $G_{32}$.