QUELQUES NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD PARTICULIERS - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

SOME PARTICULAR NIVEN-HARSHAD NUMBERS

QUELQUES NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD PARTICULIERS

Rene-Louis Clerc
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1124740

Résumé

In recreational mathematics, a Niven's number (or Harshad number or multinumeric number) is a non-zero natural number n which is divisible, in a given base, by the sum S1 of its digits.
Defined in the 1970s, these numbers have since been regularly studied by several authors ([1], [2], ..., [17], [19]).
In base 10, all numbers from 1 to 10 inclusive are Niven, we then have 12, 18, 20, 21, 24, ..., 2022, 2023, 2024, 2025, ..., 142857, ... ([OE1])
A number is said to be completely Niven (or completely Harshad) if it is Niven in all bases; this is only the case for 1, 2, 4, 6.
Generally speaking, in a base b, all numbers from 1 to b and all powers of b are Niven numbers and no prime number strictly greater than b is Niven.
In base 10, the factorials of all integers less than or equal to 431 are Niven numbers, 432! is the smallest factorial not to be a Niven number.
In any basis, there are an infinity of Niven numbers ([19]), which are of the form n = K*S1, K being any integer.
On the other hand, for a well-specified K, which will be either a given integer, or a given function of the digits of this n, it will be shown, in most of the cases considered here, that there is only one finite number and especially small (of the order of ten) of these particular Niven numbers which, moreover, are small (at most 13 digits).
We consider here various classes of such Niven numbers (almost exclusively) in base 10, first of all the Niven numbers of the form n = m * S1, m being any integer but given .
We also study the Niven numbers of the form n = S1*P, P being the product of the non-zero digits of n; we still call them SP numbers ([SPi], i=1 to 9). We will give some results on SP numbers in any base (from 2 to 12).
We then consider numbers equal to the product of a certain power t >= 0 of the sum S1 of its digits by a certain power r >= 0 of the sum S2 squares of its digits. We will talk about Niven numbers of type (t, r).
For t = 0 the possible solutions are not necessarily Niven numbers, but allow us to exhibit some remarkable numbers (in the sense of (18]). We can easily show that there is none greater than 1 for r = 1 or 2, but we can find the solution n = 8365427 for r = 3, n = 285610000 for r = 4, ..., results quite compatible with the remarkable numbers reported in [18]. = 2033 confirms property 8 ([18]) concerning 203, the only number greater than 1 equal to the sum of the squares of the digits of its cube. A modification of the type (0,1) allows us to exhibit the perfect narcissistic numbers ([OE4]) and our perfect r-narcissistic numbers ([18], [20]).
We also extend the types (t, r) by replacing the sum S2 by the sum Sp of a certain power (p > 2) of the digits of the number n ; we will treat some cases p = 3 of type 3(t, r) and p = 4 of type 4(t,r). Finally some extensions to (S1)t * P, t = 2, 3, 4 or to numbers not necessarily Niven like factorions and primorions (the primorions being to the primorials what factorions are to factorials) are considered; we determine in particular all the factorions and primorions in bases from 2 to 12.
The maps associated with the various numbers considered here are most often pleasant transformations ([18]) and the corresponding iterations therefore have a finite number of attractors (fixed points and cycles of finite order).
En mathématiques récréatives, un nombre de Niven (ou nombre Harshad ou nombre multinumérique) est un entier naturel n non nul qui est divisible, dans une base donnée, par la somme S1 de ses chiffres.
Définis dans les années 1970, ces nombres ont depuis été régulièrement étudiés par plusieurs auteurs ([1], [2], ..., [17], [19]).
En base 10, tous les nombres de 1 à 10 inclus sont de Niven, on a ensuite 12, 18, 20, 21, 24, ..., 2022, 2023, 2024, 2025, ..., 142857, ...([OE1])
Un nombre est dit de Niven complet (ou complètement Harshad) s'il est de Niven dans toutes les bases; c'est le cas uniquement de 1, 2, 4, 6.
De manière générale, dans une base b, tous les nombres de 1 à b et toutes les puissances de b sont des nombres de Niven et aucun nombre premier strictement supérieur à b n'est de Niven.
En base 10, les factorielles de tous les entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres de Niven, 432! est la plus petite factorielle à ne pas être un nombre de Niven.
Dans toute base, il y a une infinité de nombres de Niven ([19]), qui sont de la forme n = K*S1, K étant un entier quelconque.
En revanche, pour un K bien spécifié, qui sera soit un entier donné, soit une fonction donnée des chiffres de ce n, on montrera, dans la plupart des cas considérés ici, qu'il n'y a qu'un nombre fini et surtout petit (de l'ordre de la dizaine) de ces nombres de Niven particuliers qui, par ailleurs, sont petits (au plus 13 chiffres).
On envisage ici diverses classes de tels nombres de Niven (presque uniquement) en base 10, tout d'abord les nombres de Niven de la forme n = m * S1, m étant un entier quelconque mais donné.
On étudie aussi, les nombres de Niven de la forme n = S1*P, P étant le produit des chiffres non nuls de n; on les appelle encore les nombres SP ([SPi], i=1 à 9). On donnera quelques résultats sur des nombres SP en base quelconque (de 2 à 12).
On considère ensuite des nombres égaux au produit d'une certaine puissance t >= 0 de la somme S1 de ses chiffres par une certaine puissance r >= 0 de la somme S2 des carrés de ses chiffres. On parlera de nombres de Niven de type (t, r).
Pour t = 0 les solutions éventuelles ne sont pas nécessairement des nombres de Niven, mais permettent d'exhiber quelques nombres remarquables (au sens de (18]). On peut montrer facilement qu'il n'y en a aucune supérieure à 1 pour r = 1 ou 2, mais on peut trouver la solution n = 8365427 pour r = 3, n = 285610000 pour r = 4, ..., résultats tout à fait compatibles avec les nombres remarquables signalés dans [18]. Par exemple 8365427 = 2033 confirme la propriété 8 ([18]) concernant 203, seul nombre supérieur à 1 égal à la somme des carrés des chiffres de son cube. Une modification du type (0,1) nous permet d'exhiber les nombres narcissiques parfaits ([OE4]) et nos nombres r-narcissiques parfaits ([18], [20]).
On étend aussi les types (t, r) en remplaçant la somme S2 par la somme Sp d'une certaine puissance (p > 2) des chiffres du nombre n; on traitera quelques cas p = 3 de type 3(t, r) et p = 4 de type 4(t,r). Enfin quelques extensions à (S1)t * P, t = 2, 3, 4 ou à des nombres non nécessairement Niven comme factorions et primorions (les primorions étant aux primorielles ce que sont les factorions aux factorielles) sont envisagées; on détermine en particulier tous les factorions et primorions en base de 2 à 12.
Les applications associées aux divers nombres considérés ici sont le plus souvent des transformations agréables ([18]) et les itérations correspondantes possèdent donc un nombre fini d'attracteurs (points fixes et cycles d'ordre fini).
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Dates et versions

hal-04235744 , version 1 (10-10-2023)

Identifiants

  • HAL Id : hal-04235744 , version 1

Citer

Rene-Louis Clerc. QUELQUES NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD PARTICULIERS. 2023. ⟨hal-04235744⟩
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