Number of conjugacy classes of torsion elements in Brown-Thompson groups
Nombre de classes de conjugaison d'éléments d'ordre fini dans les groupes de Brown-Thompson
Abstract
We extend a result of Matucci ([Mat08]) on the number of conjugacy classes of finite order elements in the Thompson group T. According to [Lio08], if gcd(m − 1, q) is not a divisor of r then there does not exist element of order q in the Brown-Thompson group Tr,m. We show that if gcd(m − 1, q) is a divisor of r then there are exactly ϕ(q).gcd(m − 1, q) conjugacy classes of elements of order q in Tr,m, where ϕ is the Euler function phi. As a corollary, we obtain that the Thompson group T is isomorphic to none of the groups Tr,m, for m = 2 and any morphism from T into Tr,m, with m = 2 and r = 0 mod (m − 1), is trivial.
Nous étendons un résultat de Matucci ([Mat08]) sur le nombre de classes de conjugaison d'éléments d'ordre fini dans le groupe de Thompson T. D'après [Lio08], le groupe de Brown-Thompson Tr,m ne contient pas d'élément d'ordre q lorsque pgcd(m − 1, q) ne divise pas r. Nous montrons que si pgcd(m − 1, q) divise r alors il y a exactement ϕ(q).pgcd(m − 1, q) classes de conjugaison d'éléments d'ordre q dans Tr,m, où ϕ est la fonction phi d'Euler. Comme corollaire, nous obtenons que le groupe de Thompson T n'est isomorphe à aucun des groupes Tr,m avec m = 2 et tout morphisme de T dans Tr,m, avec m = 2 et r = 0 mod (m − 1), est trivial.
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