Secondary prospective teachers grappling with ordered dense or discrete denumerable number sets: a pilot study
Futuros profesores de matemáticas de secundaria que razonan sobre conjuntos numerables ordenados densos o discretos: un estudio piloto
Futurs enseignants du secondaire aux prises avec les ensembles dénombrables ordonnés denses ou discrets : une étude exploratoire
Résumé
In this paper we present a pilot study with master students, who are also secondary prospective teachers in mathematics, where some cognitive conflicts emerged on the issue of ordered number sets being at the same time dense and denumerable. We first provide a literature review and historical-epistemological background, then we carry out an institutional overview related to these notions. Finally, we present qualitative analyses of data collected in our universities: one case study regarding a student in Italy, that made our main hypothesis emerge; a questionnaire to 30 French students. We carried out the analyses under the lenses of concept image and concept definition, which we use to analyse empirical data, collected in both countries. The analysis revealed that the concept images of discrete and dense sets in general are not connected by the students to formal definitions, and conflict emerged at the level of concept images. Since the articulation of definitions and images is crucial in the transition school-university and these concepts are basic in advanced mathematics, we discuss some implications of such conflicts and open new research questions to better investigate the problem in future studies.
En este artículo presentamos un estudio piloto con estudiantes universitarios de máster de formación del profesorado de secundaria en matemáticas. En este contexto, surgieron algunos conflictos cognitivos sobre el tema de que los conjuntos de números ordenados son a la vez densos y numerables. Primero proporcionamos una revisión de la literatura y antecedentes histórico-epistemológicos, y, a continuación, mostramos una visión institucional relacionada con estas nociones. A continuación, presentamos un estudio cualitativo realizado en Italia y Francia. En Italia, entrevistamos a un estudiante de máster que fue en parte responsable de nuestro cuestionario. En Francia, sometimos a un cuestionario a 30 estudiantes de máster que se preparaban para ser profesores de matemáticas de secundaria. Para realizar nuestros análisis de los datos empíricos recogidos en ambos países, utilizamos la díada imagen conceptual/definición conceptual. Los análisis muestran que las imágenes conceptuales de conjuntos densos o discretos no suelen estar conectadas con las definiciones conceptuales, y que los conflictos cognitivos aparecen a nivel de las imágenes conceptuales. Dado que las articulaciones entre imágenes y definiciones son cruciales en la transición secundaria-superior, y que los conceptos aquí considerados son esenciales para las matemáticas avanzadas, discutimos algunas consecuencias de estos conflictos y abrimos nuevas preguntas de investigación para profundizar en futuros estudios.
Dans cet article nous présentons une étude exploratoire conduite auprès d’étudiants de master se destinant au métier de professeur de mathématiques du second degré sur les conflits cognitifs susceptibles d’apparaître au sujet d’ensembles ordonnés de nombres qui sont à la fois denses et dénombrables. Nous présentons tout d’abord une revue de littérature, complétée par un aperçu sur les enjeux épistémologiques et les aspects institutionnels. Nous présentons ensuite une étude qualitative conduite en Italie et en France. En Italie, nous avons interviewé une étudiante de master pour partie à l’origine de notre questionnement. En France nous avons soumis un questionnaire à 30 étudiants de master se destinant au métier de professeur de mathématiques du second degré. Pour conduire nos analyses des données empiriques recueillies dans les deux pays, nous utilisons la dyade concept image / concept définition. Les analyses montrent que les concepts images des ensembles denses ou discrets ne sont le plus souvent pas connectés aux concepts définitions, et que des conflits cognitifs apparaissent au niveau des concepts images. Étant donné que les articulations entre images et définitions sont cruciales dans la transition secondaire-supérieur, et que les concepts considérés ici sont essentiels pour les mathématiques avancées, nous discutons quelques conséquences de ces conflits et ouvrons de nouvelles questions de recherche pour poursuivre les investigations dans de futures études.