Almost-fuchsian structures on disk bundles over a surface
Structures presque-fuchsiennes sur des fibrés en disques sur une surface
Résumé
Considering an integer d > 0, we show the existence of convex-cocompact
representations of surface groups into SO(4, 1) admitting an embedded minimal map with
curvatures in (−1, 1) and whose associated hyperbolic 4-manifolds are disk bundles of degree
d over the surface, provided the genus g of the surface is large enough. We also show that
we can realize these representations as complex variation of Hodge structures. This gives
examples of quasicircles in S³ bounding superminimal disks in H⁴ of arbitrarily small second
fundamental form. Those are examples of generalized almost-Fuchsian representations which
are not deformations of Fuchsian representations.
Soit d un entier positif. Nous montrons l'existence de représentations convexe-cocompactes
d'un groupe de surface vers SO(4,1) admettant un plongement équivariant minimal dont les courbures
sont dans (-1,1) et telles que la variété hyperbolique de dimension 4 associée soit un fibré en disques de
degré d sur la surface, pourvu que le genre g de la surface soit assez grand. Nous montrons aussi que nous pouvons réaliser ces représentations comme des variations complexes de structures de Hodge. Cela donne
des exemples de quasicercles dans S³ bordant des disques superminimaux dans H⁴ de seconde forme fondamentale arbitrairement petite. Ce sont des exemples de représentations presque-fuchsiennes généralisées qui ne sont pas des déformations de représentations fuchsiennes.
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