Killing a vortex
Résumé
The Structural Theorem of the Graph Minors series of Robertson and Seymour asserts that, for every t ∈ N, there exists some constant ct such that every K_t-minor-free graph admits a tree decomposition whose torsos can be transformed, by the removal of at most c_t vertices, to graphs that can be seen as the union of some graph that is embeddable to some surface of Euler genus at most ct and “at most c_t vortices of depth c_t”. Our main combinatorial result is a “vortex-free” refinement of the above structural theorem as follows: we identify a (parameterized) graph H_t, called shallow vortex grid, and we prove that if in the above structural theorem we replace K_t by H_t, then the resulting decomposition becomes “vortex-free”. Up to now, the most general classes of graphs admitting such a result were either bounded Euler genus graphs or the so called single- crossing minor-free graphs. Our result is tight in the sense that, whenever we minor-exclude a graph that is not a minor of some H_t, the appearance of vortices is unavoidable. Using the above decomposition theorem, we design an algorithm that, given an H_t-minor-free graph G, computes the generating function of all perfect matchings of G in polynomial time. This algorithm yields, on H_t-minor-free graphs, polynomial algorithms for computational problems such as the dimer problem, the exact matching problem, and the computation of the permanent. Our results, combined with known complexity results, imply a complete characterization of minor-closed graphs classes where the number of perfect matchings is polynomially computable: They are exactly those graph classes that do not contain every Ht as a minor. This provides a sharp complexity dichotomy for the problem of counting perfect matchings in minor-closed classes.
Le théorème structurel de la série des graphes mineurs de Robertson et Seymour affirme que, pour tout t ∈ N, il existe une constante ct telle que tout graphe K_t-minor-free admet une décomposition en arbre dont les tores peuvent être transformés, par l'élimination d'au plus c_t sommets, en graphes qui peuvent être vus comme l'union d'un graphe incorporable à une surface de genre d'Euler d'au plus ct et "d'au plus c_t tourbillons d'une profondeur de c_t". Notre principal résultat combinatoire est un raffinement "sans vortex" du théorème structurel ci-dessus : nous identifions un graphe (paramétré) H_t, appelé grille de vortex peu profonde, et nous prouvons que si, dans le théorème structurel ci-dessus, nous remplaçons K_t par H_t, alors la décomposition résultante devient "sans vortex". Jusqu'à présent, les classes les plus générales de graphes admettant un tel résultat étaient soit les graphes de genre d'Euler bornés, soit les graphes dits "sans mineur à simple croisement". Notre résultat est étroit dans le sens où, chaque fois que nous excluons par minorité un graphe qui n'est pas mineur d'un certain H_t, l'apparition de tourbillons est inévitable. En utilisant le théorème de décomposition ci-dessus, nous concevons un algorithme qui, étant donné un graphe G sans mineur H_t, calcule la fonction génératrice de toutes les correspondances parfaites de G en temps polynomial. Cet algorithme produit, sur des graphes sans H_t-minor, des algorithmes polynomiaux pour des problèmes de calcul tels que le problème du dimère, le problème de l'appariement exact et le calcul du permanent. Nos résultats, combinés aux résultats de complexité connus, impliquent une caractérisation complète des classes de graphes fermés mineurs où le nombre d'appariements parfaits est polynomialement calculable : Il s'agit exactement des classes de graphes qui ne contiennent pas chaque Ht comme mineur. Ceci fournit une dichotomie de complexité nette pour le problème du comptage des correspondances parfaites dans les classes de graphes fermés mineurs.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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