Le théorème des six exponentielles restreint à l’irrationalité
Résumé
Let $p$, $q$, $r$ be three multiplicatively independent positive rational numbers and $u$ a positive real number such that the three numbers $p^u$, $q^u$, $r^u$ are rational. Then $u$ is also rational. We prove this result by introducing a parameter $L$ and a square $L\times L$ matrix, the entries of which are functions $(p^{s_1}q^{s_2}r^{s_3})^{(t_0+t_1u)x}$. The determinant $\Delta(x)$ of this matrix vanishes at a real point $x\not=0$ if and only if $u$ is rational. From the hypotheses, it follows that $\Delta(1)$ is a rational number; one easily estimates a denominator of it. An upper bound for $|\Delta(1)|$ follows from the fact that the first $L(L-1)/2$ Taylor coefficients of $\Delta(x)$ at the origin vanish.
Le théorème des six exponentielles restreint à l'irrationalité par Michel Waldschmidt Résumé. Si p, q, r sont trois nombres rationnels positifs multiplicativement indépendants et u un nombre réel positif tel que les trois nombres p u , q u , r u soient rationnels, alors u est aussi rationnel. Pour démontrer ce résultat, on introduit un paramètre L et une matrice carrée L × L dont les coefficients sont des fonctions (p s 1 q s 2 r s 3) (t 0 +t 1 u)x. Le déterminant ∆(x) de cette matrice s'annule en un point réel x = 0 si et seulement si u est rationnel. Les hypothèses impliquent que ∆(1) est un nombre rationnel, dont on majore facilement un dénominateur. Pour majorer |∆(1)|, on montre que les L(L−1)/2 premiers coefficients de Taylor de ∆(x) à l'origine sont nuls.
Mots clés
nombres rationnels irrationalité théorème des six exponentielles conjecture des quatre exponentielles indépendance multiplicative de nombres réels déterminant série de Taylor 2010 Mathematics Subject Classification : 11J86
nombres rationnels
irrationalité
théorème des six exponentielles
conjecture des quatre exponentielles
indépendance multiplicative de nombres réels
déterminant
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