Le théorème des six exponentielles restreint à l’irrationalité - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue RMS : revue de la filière mathématiques [2004-....] Année : 2021

Le théorème des six exponentielles restreint à l’irrationalité

Résumé

Let $p$, $q$, $r$ be three multiplicatively independent positive rational numbers and $u$ a positive real number such that the three numbers $p^u$, $q^u$, $r^u$ are rational. Then $u$ is also rational. We prove this result by introducing a parameter $L$ and a square $L\times L$ matrix, the entries of which are functions $(p^{s_1}q^{s_2}r^{s_3})^{(t_0+t_1u)x}$. The determinant $\Delta(x)$ of this matrix vanishes at a real point $x\not=0$ if and only if $u$ is rational. From the hypotheses, it follows that $\Delta(1)$ is a rational number; one easily estimates a denominator of it. An upper bound for $|\Delta(1)|$ follows from the fact that the first $L(L-1)/2$ Taylor coefficients of $\Delta(x)$ at the origin vanish.
Le théorème des six exponentielles restreint à l'irrationalité par Michel Waldschmidt Résumé. Si p, q, r sont trois nombres rationnels positifs multiplicativement indépendants et u un nombre réel positif tel que les trois nombres p u , q u , r u soient rationnels, alors u est aussi rationnel. Pour démontrer ce résultat, on introduit un paramètre L et une matrice carrée L × L dont les coefficients sont des fonctions (p s 1 q s 2 r s 3) (t 0 +t 1 u)x. Le déterminant ∆(x) de cette matrice s'annule en un point réel x = 0 si et seulement si u est rationnel. Les hypothèses impliquent que ∆(1) est un nombre rationnel, dont on majore facilement un dénominateur. Pour majorer |∆(1)|, on montre que les L(L−1)/2 premiers coefficients de Taylor de ∆(x) à l'origine sont nuls.
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Dates et versions

hal-04025073 , version 1 (11-03-2023)

Identifiants

  • HAL Id : hal-04025073 , version 1

Citer

Michel Waldschmidt. Le théorème des six exponentielles restreint à l’irrationalité. RMS : revue de la filière mathématiques [2004-..], 2021, 131 (3), pp.26-33. ⟨hal-04025073⟩
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