Regular Expansion for the Characteristic Exponent of a Product of 2 × 2 Random Matrices
Exposant caractéristique associé à un produit de matrices aléatoires 2x2 : partie régulière du développement de Taylor.
Résumé
We consider a product of 2 × 2 random matrices which appears in the physics literature in the analysis of some 1D disordered models. These matrices depend on a parameter epsilon > 0 and on a positive random variable Z. Derrida and Hilhorst (J Phys A 16:2641, 1983, 3) conjecture that the corresponding characteristic exponent has a regular expansion with respect to up to and not further an order determined by the distribution of Z. We give a rigorous proof of that statement. We also study the singular term which breaks that expansion.
On s'intéresse à un produit de matrices aléatoires 2x2, apparaissant en physique statistique dans l'analyse de certains modèles désordonnés unidimensionnels. Ces matrices dépendent d'un paramètre epsilon >0 et d'une variable aléatoire Z>0. Derrida et Hilhorst (J Phys A 16:2641, 1983, 3) ont émis la conjecture que l'exposant caractéristique associé a un développement de Tayor régulier (lorsque epsilon tend vers 0) jusqu'à un certain ordre (et pas au-delà), ordre déterminé par la loi de Z. Nous proposons une preuve mathématique de ce résultat, et étudions le terme singulier qui brise la régularité du développement de Taylor.
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