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Article Dans Une Revue Comptes Rendus. Mathématique Année : 2021

On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap

Résumé

Let A ∼ = k〈X 〉/I be an associative algebra. A finite word over alphabet X is I-reducible if its image in A is a k-linear combination of length-lexicographically lesser words. An obstruction is a subword-minimal Ireducible word. If the number of obstructions is finite then I has a finite Gröbner basis, and the word problem for the algebra is decidable. A cogrowth function is the number of obstructions of length ≤ n. We show that the cogrowth function of a finitely presented algebra is either bounded or at least logarithmical. We also show that an uniformly recurrent word has at least logarithmical cogrowth. Résumé. Soit A ∼ = k〈X 〉/I une algèbre associative. Un mot fini sur l'alphabet X est I-réductible si son image dans A est une combinaison linéaire k de mots de longueur lexicographiquement moindre. Une obstruction dans un mot minimal I-réductible. Si le nombre d'obstructions est fini, alors I a une base finie Gröbner, et le mot problème pour l'algèbre est décidable. Une fonction co-croissance est le nombre d'obstructions de longueur ≤ n. Nous montrons que la fonction de co-croissance d'une algèbre finement présentée est soit bornée, soit au moins logarithmique. Nous montrons également qu'un mot uniformément récurrent a au moins une co-croissance logarithmique.
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Dates et versions

hal-03964302 , version 1 (31-01-2023)

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Citer

Alexei Ya. Kanel-Belov, Igor Melnikov, Ivan Mitrofanov. On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap. Comptes Rendus. Mathématique, 2021, 359 (3), pp.297-303. ⟨10.5802/crmath.170⟩. ⟨hal-03964302⟩
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