Resonances and residue operators for symmetric spaces of rank one
Résumé
Let X = G/K be a rank-one Riemannian symmetric space of the noncompact type and let −∆ be the Laplace-Beltrami operator on X. We show that the resolvent operator R(z) of ∆ can be meromorphically continued across the spectrum and explicitly determine the poles, i.e. the resonances. Further we describe the residue operators in terms of finite dimensional spherical representations of G. The result answers a question posed by M. Zworski in [13]. The rank of the residue operators is derived from a restricted root version of the Weyl dimension formula for spherical highest weight representations which we prove for arbitrary symmetric spaces of the noncompact type.
Soit X = G/K un espace symétrique riemannien de type non-compact et de rang un, et soit −∆ l'opérateur de Laplace-Beltrami sur X. Nous montrons que la résolvante R(z) de ∆ se prolonge méromorphiquement à travers le spectre et nous déterminons explicitement ses pôles, c'està-dire les résonances. En outre, nous écrivons les opérateurs résiduels au moyen des représentations sphériques de dimension finie de G. Les résultats de cet article répondent à une question posée par M. Zworski dans [13]. Le rang des opérateurs résiduels est obtenu à partir d'une version de la formule de la dimension de Weyl pour les représentations sphériques qui utilise les racines restreintes ; nous démontrons cette formule pour des espaces symétriques du type non-compact arbitraires.
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