Motivic stable cohomotopy and unimodular rows
Cohomotopie stable motivique et lignes unimodulaires
Résumé
We relate the group structure of van der Kallen on orbit sets of unimodular rows with values in a smooth algebra $A$ over a field $k$ with the motivic cohomotopy groups of the spectrum of $A$ with coefficients in $\mathbb{A}^n\setminus 0$ in the sense of Asok and Fasel. In the last section, we compare the motivic cohomotopy theory studied in this paper and defined by $\mathbb{A}^{n+1}\setminus 0$ or, equivalently, by an $\mathbb{A}^1$-weakly equivalent quadric $Q_{2n+1}$ to that considered by Asok and Fasel, defined by a quadric $Q_{2n}$, by means of explicit morphisms $Q_{2n+1}\rightarrow Q_{2n}$, $Q_{2n}\times\mathbb{G}_m\rightarrow Q_{2n+1}$ of quadrics.
Nous comparons la structure de groupe de van der Kallen sur les ensembles d'orbites de lignes unimodulaires à valeurs dans une algèbre lisse $A$ sur un corps $k$ aux groupes de cohomotopie motivique de son spectre à coefficients dans $\mathbb{A}^n\setminus 0$ au sens d'Asok et Fasel. Dans la dernière section, nous comparons la théorie de cohomotopie motivique étudiée dans ce papier et définie par $\mathbb{A}^{n+1}\setminus 0$ ou, de manière équivalente, par une quadrique $Q_{2n+1}$ qui lui est $\mathbb{A}^1$-faiblement équivalente à celle considérée par Asok et Fasel, au moyen de morphismes explicites $Q_{2n+1}\rightarrow Q_{2n}$, $Q_{2n}\times\mathbb{G}_m\rightarrow Q_{2n+1}$ de quadriques.