Cette communication s'adresse aux chercheurs (en programmation linéaire (en nombre entiers), meta-heuristiques ou d'autres branches de la RO) qui voudraient élargir leurs connaissances pour utiliser des techniques d'optimisation sémi-définie positive (SDP) dans leur travaux. 1 Plus exactement, je présente un travail d'environ 100 pages [1] qui permettra au lecteur d'acquérir les bases de ce domaine. J'ai réalisé ce travail principalement parce que je n'ai pas trouvé d'autre introduction à l'optimisation SDP qui cible le même public (voir Section 2). Le manuscrit proposé devrait être accessible à tous ceux qui ne détestent pas les mathématiques, qui savent ce qu'est une dérivée et peuvent accepter sans preuve des résultats très basiques comme det(AB) = det(A) det(B). Si vous êtes dans ce cas, je pense vous pouvez comprendre ce manuscrit sans acheter d'autres livres. L'objectif primordial n'est pas de rappeler ou d'énumérer une liste de résultats, mais de faire le lecteur examiner (les preuves de) ces résultats, pour qu'il puisse développer une compréhension profonde du sujet. Pour se lancer dans l'optimisation SDP, on pourrait naturellement être tenté de commencer par un livre consacré ou un « handbook of SDP ... ». Mais si le lecteur ne possède pas déjà des connaissances assez fraiches en mémoire sur les matrices SDP, je pense que cette voie, bien que basée sur d'excellentes intentions, risque d'être inaccessible. Un pas crucial pour comprendre la programmation SDP est la décomposition d'une matrice SDP en éléments propres ; c'est un concept que le néophyte ne devrait pas prendre à la légère, c.à.d, une lecture rapide d'attention moyenne serait insuffisante. Il suffit de regarder comment ces livres/handbooks présentent cette décomposition pour comprendre qu'ils ciblent un public tout simplement très différent (voir des détails en Section 2). Ce travail ne s'adresse pas non plus à ceux qui peuvent dire « Je me rappelle un peu la décomposition en éléments propres, car je l'ai fait en L3/M1 il y quelques n ≥ 5 ans ; pas besoin de preuve. » Je crains qu'une telle attitude ne vise que l'information, sans donner aucun moyen pour pénétrer dans l'essence des choses. De toute façon, mon cerveau fonctionne de la manière la plus opposée : j'aime tout apprendre en vérifiant les preuves par moi-même, dans le moindre détail si possible. Ainsi, les seuls résultats non prouvés dans ce manuscrit sont le théorème fondamental de l'algèbre et deux théorèmes dans section 5.3.2.3. Mais je fournis des preuves complètes pour, par exemple, la décomposition de Cholesky, le théorème de forte dualité pour la programmation linéaire conique (y compris SDP), six formulations équivalentes du nombre de Lovász, la formulation copositive du problème du stable, des résultats de convexification pour les programmes quadratiques et beaucoup d'autres. J'ai essayé de tout prouver par moi-même, de sorte que certaines preuves sont originales bien que ce manuscrit n'a pas été conçu pour être un travail de recherche.